Úhel mezi vektory

Abychom mohli zavést pojem vektorového součinu dvou vektorů, musíme nejprve pochopit takový pojem, jako je úhel mezi těmito vektory.

Dostaneme dva vektory $\overline(α)$ a $\overline(β)$. Vezmeme nějaký bod $O$ v prostoru a vyneseme z něj vektory $\overline(α)=\overline(OA)$ a $\overline(β)=\overline(OB)$, pak úhel $AOB$ budeme nazývat úhel mezi těmito vektory (obr. 1).

Zápis: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Pojem vektorového součinu vektorů a vzorec pro hledání

Definice 1

Vektorový součin dvou vektorů je vektor kolmý na oba dané vektory a jeho délka bude rovna součinu délek těchto vektorů se sinem úhlu mezi těmito vektory a také tento vektor se dvěma počátečními má stejnou orientaci jako kartézský souřadnicový systém.

Zápis: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematicky to vypadá takto:

1. $|\overline(α)х\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ a $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ jsou stejně orientované (obr. 2)

Je zřejmé, že vnější součin vektorů se bude rovnat nulovému vektoru ve dvou případech:

1. Pokud je délka jednoho nebo obou vektorů nulová.
2. Pokud je úhel mezi těmito vektory roven $180^\circ$ nebo $0^\circ$ (protože v tomto případě je sinus nula).

Chcete-li jasně vidět, jak se vektorový součin vektorů nachází, zvažte následující příklady řešení.

Příklad 1

Najděte délku vektoru $\overline(δ)$, který bude výsledkem vektorového součinu vektorů, se souřadnicemi $\overline(α)=(0,4,0)$ a $\overline(β) =(3,0,0) $.

Řešení.

Znázorněme tyto vektory v kartézském souřadnicovém prostoru (obr. 3):

Obrázek 3. Vektory v kartézském souřadnicovém prostoru. Author24 - online výměna studentských prací

Vidíme, že tyto vektory leží na osách $Ox$ a $Oy$. Proto úhel mezi nimi bude $90^\circ$. Pojďme najít délky těchto vektorů:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Pak podle definice 1 získáme modul $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Odpověď: $ 12 $.

Výpočet křížového součinu z vektorových souřadnic

Definice 1 přímo implikuje metodu pro nalezení vektorového součinu pro dva vektory. Protože vektor má kromě své hodnoty také směr, nelze jej najít pouze pomocí skalární veličiny. Ale kromě toho existuje také způsob, jak najít vektory, které nám byly přiděleny, pomocí souřadnic.

Dostaneme vektory $\overline(α)$ a $\overline(β)$, které budou mít souřadnice $(α_1,α_2,α_3)$ a $(β_1,β_2,β_3)$. Potom lze vektor křížového součinu (jmenovitě jeho souřadnice) najít pomocí následujícího vzorce:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Jinak rozšířením determinantu získáme následující souřadnice

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Příklad 2

Najděte vektor vektorového součinu kolineárních vektorů $\overline(α)$ a $\overline(β)$ se souřadnicemi $(0,3,3)$ a $(-1,2,6)$.

Řešení.

Použijme vzorec uvedený výše. Dostaneme

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18 -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k )=(12,-3,3)$

Odpověď: $(12,-3,3)$.

Vlastnosti vektorového součinu vektorů

Pro libovolné smíšené tři vektory $\overline(α)$, $\overline(β)$ a $\overline(γ)$ a také $r∈R$ platí následující vlastnosti:

Příklad 3

Najděte oblast rovnoběžníku, jehož vrcholy mají souřadnice $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ a $(3,8,0) $.

Řešení.

Nejprve znázorněme tento rovnoběžník v souřadnicovém prostoru (obr. 5):

Obrázek 5. Rovnoběžník v souřadnicovém prostoru. Author24 - online výměna studentských prací

Vidíme, že dvě strany tohoto rovnoběžníku jsou konstruovány pomocí kolineárních vektorů se souřadnicemi $\overline(α)=(3,0,0)$ a $\overline(β)=(0,8,0)$. Pomocí čtvrté vlastnosti získáme:

$S=|\overline(α)х\overline(β)|$

Pojďme najít vektor $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Proto

$S=|\overline(α)х\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

V této lekci se podíváme na další dvě operace s vektory: vektorový součin vektorů A smíšený součin vektorů (okamžitý odkaz pro ty, kteří to potřebují). To je v pořádku, někdy se stane, že pro úplné štěstí navíc skalární součin vektorů, jsou vyžadovány další a další. Tohle je vektorová závislost. Může se zdát, že se dostáváme do džungle analytické geometrie. To je špatně. V této sekci vyšší matematiky je obecně málo dřeva, snad až dost na Pinocchia. Ve skutečnosti je materiál velmi běžný a jednoduchý - sotva složitější než stejný skalární součin, bude dokonce méně typických úkolů. Hlavní věcí v analytické geometrii, jak se mnozí přesvědčí nebo již přesvědčili, je NEDĚLAT CHYBY VE VÝPOČTECH. Opakujte jako kouzlo a budete šťastní =)

Pokud se někde daleko třpytí vektory jako blesky na obzoru, nevadí, začněte lekcí Vektory pro figuríny obnovit nebo znovu získat základní znalosti o vektorech. Připravenější čtenáři se mohou s informacemi seznámit selektivně Snažil jsem se shromáždit nejúplnější sbírku příkladů, které se často vyskytují praktická práce

Co vám udělá radost hned? Když jsem byl malý, uměl jsem žonglovat se dvěma a dokonce se třemi míčky. Dopadlo to dobře. Nyní nebudete muset vůbec žonglovat, protože to zvážíme pouze prostorové vektory a ploché vektory se dvěma souřadnicemi budou vynechány. Proč? Tak se zrodily tyto akce – vektor a smíšený součin vektorů jsou definovány a fungují v trojrozměrném prostoru. Už je to jednodušší!

Tato operace, stejně jako skalární součin, zahrnuje dva vektory. Nechť jsou to nehynoucí písmena.

Samotná akce označený následujícím způsobem: . Jsou i jiné možnosti, ale já jsem zvyklý označovat vektorový součin vektorů tímto způsobem, v hranatých závorkách s křížkem.

A hned otázka: pokud v skalární součin vektorů jsou zapojeny dva vektory a zde se tedy dva vektory také násobí jaký je rozdíl? Zjevný rozdíl je především ve VÝSLEDKU:

Výsledkem skalárního součinu vektorů je ČÍSLO:

Výsledkem křížového součinu vektorů je VEKTOR: , tedy vektory vynásobíme a dostaneme opět vektor. Uzavřený klub. Ve skutečnosti odtud pochází název operace. V různých naučná literatura označení se také mohou lišit, použiji písmeno .

Definice křížového produktu

Nejprve bude definice s obrázkem, poté komentáře.

Definice: Vektorový produkt nekolineární vektory, v tomto pořadí s názvem VECTOR, délka což je číselně rovná ploše rovnoběžníku, postavený na těchto vektorech; vektor ortogonální k vektorům a je nasměrován tak, aby základ měl správnou orientaci:

Pojďme si definici rozebrat kousek po kousku, je zde spousta zajímavých věcí!

Lze tedy zdůraznit následující důležité body:

1) Původní vektory označené červenými šipkami podle definice ne kolineární. Případ kolineárních vektorů bude vhodné zvážit o něco později.

2) Berou se vektory v přesně stanoveném pořadí: – "a" se násobí "být", nikoli „být“ s „a“. Výsledek vektorového násobení je VEKTOR, který je označen modře. Pokud jsou vektory vynásobeny v opačném pořadí, získáme vektor stejně dlouhý a opačný ve směru (malinová barva). To znamená, že rovnost je pravdivá .

3) Nyní se seznámíme s geometrickým významem vektorového součinu. Toto je velmi důležitý bod! DÉLKA modrého vektoru (a tedy karmínového vektoru) se číselně rovná OBLASTI rovnoběžníku postaveného na vektorech. Na obrázku je tento rovnoběžník vystínován černě.

Poznámka : výkres je schematický a nominální délka vektorového produktu se přirozeně nerovná ploše rovnoběžníku.

Připomeňme si jeden z geometrických vzorců: Plocha rovnoběžníku se rovná součinu sousedních stran a sinu úhlu mezi nimi. Na základě výše uvedeného tedy platí vzorec pro výpočet DÉLKY vektorového součinu:

Zdůrazňuji, že vzorec je o DÉLCE vektoru, a ne o vektoru samotném. Jaký je praktický význam? A význam je, že v problémech analytické geometrie se oblast rovnoběžníku často nachází prostřednictvím konceptu vektorového produktu:

Dostaneme druhý důležitý vzorec. Úhlopříčka rovnoběžníku (červená tečkovaná čára) jej rozděluje na dva stejné trojúhelníky. Proto lze oblast trojúhelníku postaveného na vektorech (červené stínování) najít pomocí vzorce:

4) Neméně důležitým faktem je, že vektor je k vektorům ortogonální, tzn . Opačný vektor (malinová šipka) je samozřejmě také ortogonální k původním vektorům.

5) Vektor směřuje tak, že základ Má to že jo orientace. V lekci o přechod na nový základ Mluvil jsem o tom dostatečně podrobně rovinná orientace a nyní zjistíme, jaká je prostorová orientace. Vysvětlím na vašich prstech pravá ruka. Duševně kombinovat ukazováček s vektorem a prostředníček s vektorem. Prsteníček a malíček stiskněte jej do dlaně. Jako výsledek palec– vektorový součin vyhledá. Toto je správně orientovaný základ (je to tento na obrázku). Nyní změňte vektory ( ukazováček a prostředníček) na některých místech se v důsledku toho palec otočí a vektorový součin se již bude dívat dolů. To je také správně orientovaný základ. Můžete mít otázku: jaký základ má levou orientaci? „Přiřadit“ stejným prstům levá ruka vektory a získáte levou základnu a levou orientaci prostoru (v tomto případě bude palec umístěn ve směru spodního vektoru). Obrazně řečeno, tyto základny „kroutí“ nebo orientují prostor v různých směrech. A tento koncept by neměl být považován za něco přitaženého za vlasy nebo abstraktní - například orientaci prostoru změní nejběžnější zrcadlo, a pokud „vytáhnete odražený předmět z zrcadla“, pak to v obecném případě nebude možné jej kombinovat s „originálem“. Mimochodem, přidržte tři prsty k zrcadlu a analyzujte odraz ;-)

...jak je dobré, že o tom nyní víte orientované vpravo a vlevo základy, protože výroky některých lektorů o změně orientace jsou děsivé =)

Křížový součin kolineárních vektorů

Definice byla podrobně probrána, zbývá zjistit, co se stane, když jsou vektory kolineární. Pokud jsou vektory kolineární, pak je lze umístit na jednu přímku a náš rovnoběžník se také „složí“ do jedné přímky. Oblast takových, jak říkají matematici, degenerovat rovnoběžník je roven nule. Totéž vyplývá ze vzorce - sinus nuly nebo 180 stupňů se rovná nule, což znamená, že plocha je nula

Tedy pokud , tak A . Upozorňuji, že samotný vektorový součin je roven nulovému vektoru, ale v praxi je to často zanedbáváno a píší se, že je také roven nule.

Speciálním případem je vektorový součin vektoru se sebou samým:

Pomocí vektorového součinu můžete zkontrolovat kolinearitu trojrozměrných vektorů a mimo jiné tento problém také rozebereme.

K vyřešení praktických příkladů budete možná potřebovat trigonometrická tabulka najít z něj hodnoty sinů.

No, zapálíme oheň:

Příklad 1

a) Najděte délku vektorového součinu vektorů if

b) Najděte oblast rovnoběžníku postaveného na vektorech if

Řešení: Ne, nejedná se o překlep, schválně jsem původní údaje ve větách udělal stejné. Protože design řešení bude jiný!

a) Podle stavu musíte najít délka vektor (křížový součin). Podle odpovídajícího vzorce:

Odpovědět:

Pokud jste byli dotázáni na délku, pak v odpovědi uvádíme rozměr - jednotky.

b) Podle stavu musíte najít náměstí paralelogram postavený na vektorech. Plocha tohoto rovnoběžníku se číselně rovná délce vektorového produktu:

Odpovědět:

Upozorňujeme, že odpověď vůbec nehovoří o vektorovém součinu, na který jsme byli dotázáni plocha postavy v souladu s tím je rozměr čtvercových jednotek.

Vždy se díváme na to, CO potřebujeme najít podle podmínky, a na základě toho formulujeme Průhledná Odpovědět. Může se to zdát jako doslovnost, ale mezi učiteli je literalistů dost a zadání má velkou šanci na vrácení k přepracování. I když to není nijak zvlášť přitažená za vlasy – pokud je odpověď nesprávná, pak má člověk dojem, že daná osoba nerozumí jednoduchým věcem a/nebo nepochopila podstatu úkolu. Tento bod je třeba mít vždy pod kontrolou při řešení jakéhokoli problému ve vyšší matematice i v jiných předmětech.

Kam zmizelo velké písmeno „en“? V zásadě to mohlo být dodatečně připojeno k řešení, ale kvůli zkrácení zadání jsem to neudělal. Doufám, že to všichni pochopí a je to označení pro totéž.

Populární příklad řešení DIY:

Příklad 2

Najděte oblast trojúhelníku postaveného na vektorech if

Vzorec pro nalezení oblasti trojúhelníku pomocí vektorového produktu je uveden v komentářích k definici. Řešení a odpověď jsou na konci lekce.

V praxi je úkol opravdu velmi častý, trojúhelníky vás mohou obecně potrápit.

K vyřešení dalších problémů budeme potřebovat:

Vlastnosti vektorového součinu vektorů

Některé vlastnosti vektorového součinu jsme již zvažovali, nicméně do tohoto seznamu je zařadím.

Pro libovolné vektory a libovolné číslo platí následující vlastnosti:

1) V jiných zdrojích informací tato položka obvykle není ve vlastnostech zvýrazněna, ale z praktického hlediska je velmi důležitá. Tak to nech být.

2) – vlastnost je také probírána výše, někdy je tzv antikomutativnost. Jinými slovy, na pořadí vektorů záleží.

3) – asociativní popř asociativní zákony vektorového produktu. Konstanty lze snadno přesunout mimo vektorový součin. Opravdu, co by tam měli dělat?

4) – distribuce popř distribuční zákony vektorového produktu. Problémy nejsou ani s otevíráním držáků.

Pro demonstraci se podívejme na krátký příklad:

Příklad 3

Najdi jestli

Řešení: Podmínka opět vyžaduje zjištění délky vektorového součinu. Namalujeme naši miniaturu:

(1) Podle asociativních zákonů bereme konstanty mimo rozsah vektorového součinu.

(2) Přesuneme konstantu mimo modul a modul „sežere“ znaménko mínus. Délka nemůže být záporná.

(3) Zbytek je jasný.

Odpovědět:

Je čas přidat více dřeva do ohně:

Příklad 4

Vypočítejte obsah trojúhelníku postaveného na vektorech, jestliže

Řešení: Najděte oblast trojúhelníku pomocí vzorce . Háček je v tom, že vektory „tse“ a „de“ jsou samy o sobě prezentovány jako součty vektorů. Algoritmus je zde standardní a trochu připomíná příklady č. 3 a 4 z lekce Bodový součin vektorů. Pro přehlednost rozdělíme řešení do tří fází:

1) V prvním kroku vyjádříme vektorový produkt prostřednictvím vektorového produktu, ve skutečnosti, vyjádřeme vektor pomocí vektoru. O délkách zatím nepadlo slovo!

(1) Nahraďte výrazy vektorů.

(2) Pomocí distributivních zákonů otevřeme závorky podle pravidla násobení polynomů.

(3) Pomocí asociativních zákonů přesuneme všechny konstanty za vektorové součiny. S trochou zkušeností lze kroky 2 a 3 provádět současně.

(4) První a poslední člen se rovná nule (nulový vektor) díky vlastnosti nice. Ve druhém členu využíváme vlastnosti antikomutativnosti vektorového součinu:

(5) Uvádíme podobné termíny.

V důsledku toho se ukázalo, že vektor je vyjádřen vektorem, což je to, co bylo požadováno, aby bylo dosaženo:

2) Ve druhém kroku najdeme délku vektorového součinu, kterou potřebujeme. Tato akce je podobná příkladu 3:

3) Najděte obsah požadovaného trojúhelníku:

Fáze 2-3 řešení mohly být napsány na jednom řádku.

Odpovědět:

Uvažovaný problém je poměrně běžný testy, zde je příklad nezávislého řešení:

Příklad 5

Najdi jestli

Krátké řešení a odpověď na konci lekce. Podívejme se, jak pozorní jste byli při studiu předchozích příkladů ;-)

Křížový součin vektorů v souřadnicích

Vzorec je opravdu jednoduchý: do horního řádku determinantu napíšeme souřadnicové vektory, do druhého a třetího řádku „dáme“ souřadnice vektorů a dáme v přísném pořadí– nejprve souřadnice vektoru „ve“, poté souřadnice vektoru „double-ve“. Pokud je třeba vektory násobit v jiném pořadí, měly by být řádky prohozeny:

Příklad 10

Zkontrolujte, zda jsou následující prostorové vektory kolineární:
A)
b)

Řešení: Kontrola je založena na jednom z tvrzení v této lekci: pokud jsou vektory kolineární, pak je jejich vektorový součin roven nule (nulový vektor): .

a) Najděte vektorový součin:

Vektory tedy nejsou kolineární.

b) Najděte vektorový součin:

Odpovědět: a) není kolineární, b)

Zde jsou snad všechny základní informace o vektorovém součinu vektorů.

Tato část nebude příliš rozsáhlá, protože existuje jen málo problémů, kde se používá smíšený součin vektorů. Ve skutečnosti bude vše záviset na definici, geometrickém významu a několika pracovních vzorcích.

Smíšený součin vektorů je součin tří vektorů:

Takže se seřadili jako vlak a nemohou se dočkat, až budou identifikováni.

Nejprve opět definice a obrázek:

Definice: Smíšená práce nekoplanární vektory, v tomto pořadí, volal rovnoběžnostěnný objem, postavený na těchto vektorech, vybavený znaménkem „+“, pokud je základ vpravo, a znaménkem „–“, pokud je základ vlevo.

Pojďme udělat kresbu. Pro nás neviditelné čáry jsou nakresleny tečkovanými čarami:

Pojďme se ponořit do definice:

2) Berou se vektory v určitém pořadí, to znamená, že přeskupení vektorů v produktu, jak asi tušíte, se neobejde bez následků.

3) Než se vyjádřím ke geometrickému významu, všimnu si zřejmé skutečnosti: smíšený součin vektorů je ČÍSLO: . V naučné literatuře se může design mírně lišit, smíšený produkt jsem zvyklý označovat a výsledek výpočtů písmenem „pe“.

A-převorství smíšený produkt je objem rovnoběžnostěnu, postavené na vektorech (postava je nakreslena červenými vektory a černými čarami). To znamená, že číslo se rovná objemu daného rovnoběžnostěnu.

Poznámka : Výkres je schematický.

4) Netrapme se znovu konceptem orientace základny a prostoru. Smyslem závěrečné části je, že k objemu lze přidat znaménko mínus. Jednoduše řečeno, smíšený produkt může být záporný: .

Přímo z definice vyplývá vzorec pro výpočet objemu kvádru postaveného na vektorech.

SMÍŠENÝ PRODUKT TŘÍ VEKTORŮ A JEHO VLASTNOSTI

Smíšená práce tři vektory se nazývá číslo rovné . Určeno . Zde jsou první dva vektory násobeny vektorově a následně je výsledný vektor násoben skalárně třetím vektorem. Je zřejmé, že takový produkt je určitý počet.

Uvažujme vlastnosti smíšeného produktu.

1. Geometrický význam smíšená práce. Smíšený součin 3 vektorů až do znaménka se rovná objemu kvádru postaveného na těchto vektorech, jako na hranách, tzn. .

   Tak a .

   

   Důkaz. Nechme stranou vektory ze společného počátku a postavme na nich rovnoběžnostěn. Označme a poznamenejme, že . Podle definice skalárního součinu

   Za předpokladu, že a označující tím h zjistěte výšku rovnoběžnostěnu.

   Tedy, když

   Pokud, tak ano. Proto, .

   Kombinací obou těchto případů dostaneme nebo .

   Z důkazu této vlastnosti zejména vyplývá, že je-li trojice vektorů pravotočivá, pak smíšený součin je , a je-li levotočivý, pak .

2. Pro všechny vektory , platí rovnost

   Důkaz této vlastnosti vyplývá z vlastnosti 1. Je skutečně snadné prokázat, že a . Kromě toho se znaménka „+“ a „–“ berou současně, protože úhly mezi vektory a a a jsou ostré i tupé.

3. Když jsou jakékoli dva faktory přeskupeny, smíšený produkt změní znaménko.

   Pokud totiž uvažujeme smíšený produkt, pak např. popř

4. Smíšený součin tehdy a jen tehdy, když je jeden z faktorů roven nule nebo jsou vektory koplanární.

   Důkaz.

   Nezbytnou a postačující podmínkou pro koplanaritu 3 vektorů je tedy to, že jejich smíšený součin je roven nule. Navíc z toho plyne, že tři vektory tvoří základ v prostoru if .

   Pokud jsou vektory uvedeny v souřadnicovém tvaru, pak lze ukázat, že jejich smíšený součin lze nalézt podle vzorce:

   .

   Smíšený součin se tedy rovná determinantu třetího řádu, který má souřadnice prvního vektoru v prvním řádku, souřadnice druhého vektoru ve druhém řádku a souřadnice třetího vektoru ve třetím řádku.

   Příklady.

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

Rovnice F(x, y, z)= 0 definuje v prostoru Oxyz nějaký povrch, tzn. místo bodů, jejichž souřadnice x, y, z splnit tuto rovnici. Tato rovnice se nazývá povrchová rovnice a x, y, z– aktuální souřadnice.

Často však povrch není specifikován rovnicí, ale jako množina bodů v prostoru, které mají tu či onu vlastnost. V tomto případě je nutné najít rovnici povrchu na základě jeho geometrických vlastností.

LETADLO.

NORMÁLNÍ ROVINNÝ VEKTOR.

ROVNICE LETADLA PROLETUJÍCÍHO DANÝM BODEM

Uvažujme libovolnou rovinu σ v prostoru. Jeho poloha je určena určením vektoru kolmého k této rovině a nějakého pevného bodu M0(x 0, y 0, z 0), ležící v rovině σ.

Vektor kolmý k rovině σ se nazývá normální vektor této roviny. Nechť má vektor souřadnice .

Odvoďme rovnici procházející roviny σ tento bod M0 a mající normální vektor. K tomu vezměte libovolný bod v rovině σ M(x, y, z) a zvažte vektor .

Za jakýkoli bod MО σ je vektor Proto je jejich skalární součin roven nule. Tato rovnost je podmínkou, že bod MО σ. Platí pro všechny body této roviny a je porušeno, jakmile bod M bude mimo rovinu σ.

Označíme-li body poloměrovým vektorem M, – vektor poloměru bodu M0, pak lze rovnici zapsat ve tvaru

Tato rovnice se nazývá vektor rovinná rovnice. Pojďme to napsat v souřadnicovém tvaru. Od té doby

Získali jsme tedy rovnici roviny procházející tímto bodem. K vytvoření rovnice roviny tedy potřebujete znát souřadnice normální vektor a souřadnice nějakého bodu ležícího v rovině.

Všimněte si, že rovnice roviny je rovnicí 1. stupně vzhledem k aktuálním souřadnicím x, y A z.

Příklady.

OBECNÁ ROVNICE LETADLA

Lze ukázat, že jakákoli rovnice prvního stupně s ohledem na kartézské souřadnice x, y, z představuje rovnici nějaké roviny. Tato rovnice je napsána takto:

Ax+By+Cz+D=0

a nazývá se obecná rovnice rovinu a souřadnice A, B, C zde jsou souřadnice normálového vektoru roviny.

Podívejme se na zvláštní případy obecná rovnice. Pojďme zjistit, jak je rovina umístěna vzhledem k souřadnicovému systému, pokud se jeden nebo více koeficientů rovnice stane nulou.

A je délka segmentu odříznutého rovinou na ose Vůl. Podobně lze ukázat, že b A C– délky segmentů odříznutých uvažovanou rovinou na osách Oj A Oz.

Pro konstrukci rovin je vhodné použít rovnici roviny v úsecích.

7.1. Definice křížového produktu

Tři nekoplanární vektory a, b a c, brané v uvedeném pořadí, tvoří pravotočivý triplet, jestliže od konce třetího vektoru c nejkratší odbočka z prvního vektoru a do druhého vektoru b být proti směru hodinových ručiček a levotočivý triplet ve směru hodinových ručiček (viz obr. 16).

Vektorový součin vektoru a a vektoru b se nazývá vektor c, který:

1. Kolmo k vektorům a a b, tj. c ^ a a c ^ b;

2. Má délku číselně rovnou ploše rovnoběžníku zkonstruovaného na vektorech aab jako na bocích (viz obr. 17), tzn.

3. Vektory a, b a c tvoří pravotočivou trojici.

Vektorové kresby označené a x b nebo [a,b]. Následující vztahy mezi jednotkovými vektory přímo vyplývají z definice vektorového součinu, j A k(viz obr. 18):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Dokažme to například i xj = k.

1) k ^ i, k ^ j;

2) |k |=1, ale | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektory i, ja k tvoří pravou trojici (viz obr. 16).

7.2. Vlastnosti křížového produktu

1. Při přeskupování faktorů vektorový součin mění znaménko, tzn. a xb = (b xa) (viz obr. 19).

Vektory a xb a b xa jsou kolineární, mají stejné moduly (plocha rovnoběžníku zůstává nezměněna), ale jsou opačně orientované (trojice a, b, a xb a a, b, b x a opačné orientace). To znamená axb = -(b xa).

2. Vektorový součin má kombinační vlastnost vzhledem ke skalárnímu faktoru, tj. l ​​(a xb) = (la) x b = a x (l b).

Nechť l >0. Vektor l (a xb) je kolmý na vektory a a b. Vektor ( l sekera b je také kolmá k vektorům a a b(vektory a, l ale leží ve stejné rovině). To znamená, že vektory l(a xb) a ( l sekera b kolineární. Je zřejmé, že jejich směry se shodují. Mají stejnou délku:

Proto l(a xb)= l a xb. Obdobným způsobem se dokazuje pro l<0.

3. Dva nenulové vektory aa b jsou kolineární právě tehdy, když je jejich vektorový součin roven nulovému vektoru, tj. a ||b<=>a xb = 0.

Zejména i *i =j *j =k *k =0.

4. Vektorový součin má distribuční vlastnost:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Přijmeme bez dokladu.

7.3. Vyjádření křížového součinu pomocí souřadnic

Použijeme křížovou součinovou tabulku vektorů i, j a k:

pokud se směr nejkratší cesty z prvního vektoru do druhého shoduje se směrem šipky, pak se součin rovná třetímu vektoru, pokud se neshoduje, bere se třetí vektor se znaménkem mínus.

Nechť jsou dány dva vektory a =a x i +a y j+a z k a b = b x i+b y j+b z k. Pojďme najít vektorový součin těchto vektorů jejich vynásobením jako polynomy (podle vlastností vektorového součinu):

Výsledný vzorec lze napsat ještě stručněji:

protože pravá strana rovnosti (7.1) odpovídá rozšíření determinantu třetího řádu z hlediska prvků prvního řádku Rovnost (7.2) je snadno zapamatovatelná.

7.4. Některé aplikace křížového produktu

Stanovení kolinearity vektorů

Nalezení oblasti rovnoběžníku a trojúhelníku

Podle definice vektorového součinu vektorů A a b |a xb | =|a | * |b |sin g, tj. S párů = |a x b |. A proto D S = 1/2|a x b |.

Určení momentu síly k bodu

Nechť v bodě A působí síla F = AB nech to být O- nějaký bod v prostoru (viz obr. 20).

Z fyziky je známo, že moment síly F vzhledem k bodu O nazývaný vektor M, která prochází bodem O A:

1) kolmo k rovině procházející body O, A, B;

2) číselně se rovná součinu síly na rameno

3) tvoří pravou trojici s vektory OA a A B.

Proto M = OA x F.

Nalezení lineární rychlosti otáčení

Rychlost proti bod M tuhého tělesa rotujícího úhlovou rychlostí w kolem pevné osy, je určeno Eulerovým vzorcem v =w xr, kde r =OM, kde O je nějaký pevný bod osy (viz obr. 21).

Vektorové kresby je pseudovektor kolmý k rovině sestrojený ze dvou faktorů, který je výsledkem binární operace „násobení vektorů“ nad vektory v trojrozměrném euklidovském prostoru. Vektorový součin nemá vlastnosti komutativnosti a asociativnosti (je antikomutativní) a na rozdíl od skalárního součinu vektorů je vektorem. Široce používán v mnoha inženýrských a fyzikálních aplikacích. Například moment hybnosti a Lorentzova síla jsou zapsány matematicky jako vektorový součin. Křížový součin je užitečný pro „měření“ kolmosti vektorů – modul křížového součinu dvou vektorů se rovná součinu jejich modulů, pokud jsou kolmé, a klesá k nule, jsou-li vektory rovnoběžné nebo antiparalelní.

Vektorový součin lze definovat různými způsoby a teoreticky lze v prostoru libovolné dimenze n vypočítat součin n-1 vektorů, čímž se získá jediný vektor kolmý na všechny. Pokud je však součin omezen na netriviální binární součiny s vektorovými výsledky, pak je tradiční vektorový součin definován pouze v trojrozměrných a sedmirozměrných prostorech. Výsledek vektorového součinu, stejně jako skalárního součinu, závisí na metrice euklidovského prostoru.

Na rozdíl od vzorce pro výpočet vektorů skalárního součinu ze souřadnic v trojrozměrném pravoúhlém souřadnicovém systému závisí vzorec pro křížový součin na orientaci pravoúhlého souřadnicového systému, nebo jinými slovy na jeho „chiralitě“.

Definice:
Vektorový součin vektoru a a vektoru b v prostoru R3 je vektor c, který splňuje následující požadavky:
délka vektoru c je rovna součinu délek vektorů a a b a sinusu úhlu φ mezi nimi:
|c|=|a||b|sin φ;
vektor c je ortogonální ke každému z vektorů a a b;
vektor c je směrován tak, že trojice vektorů abc je pravotočivá;
v případě prostoru R7 je vyžadována asociativita trojice vektorů a, b, c.
Označení:
c===a × b

Rýže. 1. Plocha rovnoběžníku se rovná modulu vektorového produktu

Geometrické vlastnosti křížového produktu:
Nezbytnou a postačující podmínkou pro kolinearitu dvou nenulových vektorů je, že jejich vektorový součin je roven nule.

Modul pro více produktů rovná se plocha S paralelogram konstruovaný na vektorech redukovaných na společný počátek A A b(viz obr. 1).

Li E- jednotkový vektor ortogonální k vektorům A A b a vybrali tak, že tři a,b,e- správně a S je plocha na nich vytvořeného rovnoběžníku (redukovaného na společný počátek), pak platí vzorec pro vektorový součin:
=S e

Obr.2. Objem kvádru pomocí vektorového a skalárního součinu vektorů; tečkované čáry ukazují projekce vektoru c na a × b a vektoru a na b × c, prvním krokem je nalezení skalárních součinů

Li C- nějaký vektor, π - jakákoli rovina obsahující tento vektor, E- jednotkový vektor ležící v rovině π a ortogonální k c,g- jednotkový vektor ortogonální k rovině π a nasměrované tak, že trojice vektorů EKG je správné, pak pro jakékoliv ležení v letadle π vektor A vzorec je správný:
=Pr e a |c|g
kde Pr e a je projekce vektoru e na a
|c|-modul vektoru c

Při použití vektorových a skalárních součinů můžete vypočítat objem rovnoběžnostěnu postaveného na vektorech redukovaných na společný počátek a, b A C. Takový součin tří vektorů se nazývá smíšený.
V=|a (b×c)|
Obrázek ukazuje, že tento objem lze nalézt dvěma způsoby: geometrický výsledek je zachován i při záměně „skalárního“ a „vektorového“ produktu:
V=a×b c=a b×c

Velikost křížového součinu závisí na sinu úhlu mezi původními vektory, takže křížový součin může být vnímán jako stupeň „kolmosti“ vektorů, stejně jako skalární součin může být viděn jako stupeň „rovnoběžnosti“. “. Vektorový součin dvou jednotkových vektorů je roven 1 (jednotkový vektor), pokud jsou původní vektory kolmé, a rovný 0 (nulový vektor), pokud jsou vektory paralelní nebo antiparalelní.

Výraz pro křížový součin v kartézských souřadnicích
Pokud dva vektory A A b definovány svými pravoúhlými kartézskými souřadnicemi, nebo přesněji reprezentovanými na ortonormální bázi
a=(a x,ay,az)
b=(b x, b y, b z)
a souřadnicový systém je pravotočivý, pak jejich vektorový součin má tvar
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Pro zapamatování tohoto vzorce:
i =∑ε ijk a j b k
Kde ε ijk- symbol Levi-Civita.