Zadané 2 body najděte rovnici přímky. Rovnice přímky, která prochází dvěma danými body: příklady, řešení. Úhel mezi dvěma přímkami

Vlastnosti přímky v euklidovské geometrii.

Jakýmkoli bodem lze nakreslit nekonečné množství přímých čar.

Přes jakékoli dva neshodné body lze nakreslit jednu přímku.

Dvě různoběžné přímky v rovině se buď protínají v jednom bodě, nebo jsou

paralelní (vyplývá z předchozího).

V trojrozměrném prostoru existují tři možnosti pro relativní polohu dvou čar:

čáry se protínají;

čáry jsou rovnoběžné;

přímé čáry se protínají.

Rovný čára— algebraická křivka prvního řádu: přímka v kartézském souřadnicovém systému

je dána na rovině rovnicí prvního stupně (lineární rovnice).

Obecná rovnice přímky.

Definice. Libovolná přímka v rovině může být určena rovnicí prvního řádu

Ax + Wu + C = 0,

a konstantní A, B se zároveň nerovnají nule. Tato rovnice prvního řádu se nazývá Všeobecné

rovnice přímky. V závislosti na hodnotách konstant A, B A S Jsou možné následující speciální případy:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- počátkem prochází přímka

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- přímka rovnoběžná s osou Ach

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- přímka rovnoběžná s osou OU

. B = C = 0, A ≠0- přímka se shoduje s osou OU

. A = C = 0, B = 0- přímka se shoduje s osou Ach

Rovnice přímky může být prezentována v různých formách v závislosti na jakékoli dané

počáteční podmínky.

Rovnice přímky z bodu a normálového vektoru.

Definice. V kartézském pravoúhlém souřadnicovém systému vektor se složkami (A, B)

kolmá k přímce dané rovnicí

Ax + Wu + C = 0.

Příklad. Najděte rovnici přímky procházející bodem A(1; 2) kolmo k vektoru (3, -1).

Řešení. S A = 3 a B = -1 sestavme rovnici přímky: 3x - y + C = 0. Chcete-li najít koeficient C

Dosadíme do výsledného výrazu souřadnice daného bodu A. Dostaneme tedy: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Celkem: požadovaná rovnice: 3x - y - 1 = 0.

Rovnice přímky procházející dvěma body.

Nechť jsou uvedeny dva body v prostoru M 1 (x 1, y 1, z 1) A M2 (x 2, y 2, z 2), Pak rovnice přímky,

procházející těmito body:

Pokud je některý ze jmenovatelů nula, měl by být odpovídající čitatel nastaven na nulu. Na

rovina, rovnice přímky napsané výše je zjednodušená:

Li x 1 ≠ x 2 A x = x 1, Pokud x 1 = x 2 .

Zlomek = k volal sklon rovný.

Příklad. Najděte rovnici přímky procházející body A(1, 2) a B(3, 4).

Řešení. Použitím výše napsaného vzorce dostaneme:

Rovnice přímky pomocí bodu a sklonu.

Li obecná rovnice rovný Ax + Wu + C = 0 vést k:

a určit , pak se nazývá výsledná rovnice

rovnice přímky se sklonem k.

Rovnice přímky z bodu a směrového vektoru.

Analogicky k bodu uvažujícímu rovnici přímky přes normálový vektor můžete zadat úlohu

přímka procházející bodem a směrový vektor přímky.

Definice. Každý nenulový vektor (α 1, α 2), jehož součásti splňují podmínku

Aai + Ba2 = 0 volal směrový vektor přímky.

Ax + Wu + C = 0.

Příklad. Najděte rovnici přímky se směrovým vektorem (1, -1) a procházející bodem A(1, 2).

Řešení. Budeme hledat rovnici požadované přímky ve tvaru: Ax + By + C = 0. Podle definice,

koeficienty musí splňovat tyto podmínky:

1 * A + (-1) * B = 0, tzn. A = B.

Pak má rovnice přímky tvar: Ax + Ay + C = 0, nebo x + y + C / A = 0.

na x = 1, y = 2 dostaneme C/A = -3, tj. požadovaná rovnice:

x + y - 3 = 0

Rovnice přímky v úsecích.

Pokud v obecné rovnici přímky Ах + Ву + С = 0 С≠0, pak po dělení -С dostaneme:

nebo kde

Geometrický význam koeficientů je ten, že koeficient a je souřadnice průsečíku

rovný s osou Ach, A b- souřadnice průsečíku přímky s osou OU.

Příklad. Je dána obecná rovnice přímky x - y + 1 = 0. Najděte rovnici této přímky v úsecích.

C = 1, a = -1, b = 1.

Normální rovnice přímky.

Pokud obě strany rovnice Ax + Wu + C = 0 dělit číslem který se nazývá

normalizační faktor, pak dostaneme

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normální rovnice přímky.

Znaménko ± normalizačního faktoru musí být zvoleno tak, aby μ*C< 0.

R- délka kolmice pokleslé od počátku k přímce,

A φ - úhel, který svírá tato kolmice s kladným směrem osy Ach.

Příklad. Je dána obecná rovnice přímky 12x - 5 let - 65 = 0. Vyžaduje se psaní různých typů rovnic

tato přímka.

Rovnice této přímky v úsecích:

Rovnice této přímky se sklonem: (dělte 5)

Rovnice přímky:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Je třeba poznamenat, že ne každá přímka může být reprezentována rovnicí v segmentech, například přímky,

rovnoběžné s osami nebo procházející počátkem.

Úhel mezi přímkami v rovině.

Definice. Pokud jsou uvedeny dva řádky y = k1x + b1, y = k2x + b2, pak ostrý úhel mezi těmito čarami

bude definován jako

Dvě přímky jsou rovnoběžné, jestliže k 1 = k 2. Dvě čáry jsou kolmé

Li ki = -1/k2 .

Teorém.

Přímo Ax + Wu + C = 0 A Aix + B1y + C1 = 0 paralelní, když jsou koeficienty úměrné

Ai = λA, B1 = λB. Pokud také С 1 = λС, pak se čáry shodují. Souřadnice průsečíku dvou přímek

se nacházejí jako řešení soustavy rovnic těchto přímek.

Rovnice přímky procházející daným bodem kolmo k dané přímce.

Definice. Čára procházející bodem M 1 (x 1, y 1) a kolmo k čáře y = kx + b

reprezentováno rovnicí:

Vzdálenost od bodu k přímce.

Teorém. Pokud je dán bod M(x 0, y 0), pak vzdálenost k přímce Ax + Wu + C = 0 definováno jako:

Důkaz. Nechte bod M 1 (x 1, y 1)- základna kolmice svržená z bodu M za daný

Přímo. Pak vzdálenost mezi body M A M 1:

(1)

Souřadnice x 1 A v 1 lze nalézt jako řešení soustavy rovnic:

Druhou rovnicí soustavy je rovnice přímky procházející daným bodem M 0 kolmo

daná přímka. Převedeme-li první rovnici soustavy do tvaru:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pak řešením dostaneme:

Dosazením těchto výrazů do rovnice (1) zjistíme:

Věta byla prokázána.

Nechme přímku procházet body M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2). Rovnice přímky procházející bodem M 1 má tvar y-y 1 = k (x - x 1), (10,6)

Kde k - dosud neznámý koeficient.

Protože přímka prochází bodem M 2 (x 2 y 2), musí souřadnice tohoto bodu splňovat rovnici (10.6): y 2 -y 1 = k (x 2 - x 1).

Odtud najdeme Dosazení nalezené hodnoty k do rovnice (10.6) dostaneme rovnici přímky procházející body M 1 a M 2:

Předpokládá se, že v této rovnici x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Jestliže x 1 = x 2, pak přímka procházející body M 1 (x 1,y I) a M 2 (x 2,y 2) je rovnoběžná s osou pořadnice. Jeho rovnice je x = x 1 .

Jestliže y 2 = y I, pak rovnici přímky můžeme zapsat jako y = y 1, přímka M 1 M 2 je rovnoběžná s osou úsečky.

Rovnice přímky v úsecích

Nechť přímka protíná osu Ox v bodě M 1 (a;0) a osu Oy v bodě M 2 (0;b). Rovnice bude mít tvar:
těch.
. Tato rovnice se nazývá rovnice přímky v úsecích, protože čísla aab označují, které segmenty čára ořízne na souřadnicových osách.

Rovnice přímky procházející daným bodem kolmo k danému vektoru

Najděte rovnici přímky procházející daným bodem Mo (x O; y o) kolmou na daný nenulový vektor n = (A; B).

Vezměme na přímce libovolný bod M(x; y) a uvažujme vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (viz obr. 1). Protože vektory n a M o M jsou kolmé, jejich skalární součin je roven nule: tzn.

A(x - xo) + B (y - yo) = 0. (10.8)

Zavolá se rovnice (10.8). rovnice přímky procházející daným bodem kolmým na daný vektor .

Vektor n= (A; B), kolmý k přímce, se nazývá normální normální vektor této přímky .

Rovnici (10.8) lze přepsat jako Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

kde A a B jsou souřadnice normálového vektoru, C = -Ax o - Vu o je volný člen. Rovnice (10.9) je obecná rovnice přímky(viz obr. 2).

Obr.1 Obr.2

Kanonické rovnice přímky

Kde
- souřadnice bodu, kterým přímka prochází, a
- směrový vektor.

Křivky druhého řádu Kruh

Kružnice je množina všech bodů roviny stejně vzdálených od daného bodu, který se nazývá střed.

Kanonická rovnice kružnice o poloměru R středem v bodě
:

Zejména pokud se střed kolíku shoduje s počátkem souřadnic, bude rovnice vypadat takto:

Elipsa

Elipsa je množina bodů v rovině, součet vzdáleností od každého z nich ke dvěma daným bodům A , které se nazývají ohniska, je konstantní veličina
, větší než vzdálenost mezi ohnisky
.

Kanonická rovnice elipsy, jejíž ohniska leží na ose Ox a počátek souřadnic uprostřed mezi ohnisky má tvar
G de A délka hlavní poloosy; b – délka vedlejší vedlejší osy (obr. 2).

Závislost mezi parametry elipsy
A se vyjadřuje poměrem:

(4)

Výstřednost elipsyse nazývá poměr meziohniskové vzdálenosti2sk hlavní ose2a:

Ředitelky elipsa jsou přímky rovnoběžné s osou Oy, které jsou umístěny v určité vzdálenosti od této osy. Directrix rovnice:
.

Pokud v rovnici elipsy
, pak jsou ohniska elipsy na ose Oy.

Tak,

Podívejme se, jak na příkladech vytvořit rovnici pro přímku procházející dvěma body.

Příklad 1.

Napište rovnici pro přímku procházející body A(-3; 9) a B(2;-1).

Metoda 1 - vytvořte rovnici přímky s úhlovým koeficientem.

Rovnice přímky s úhlovým koeficientem má tvar . Dosazením souřadnic bodů A a B do rovnice přímky (x= -3 a y=9 - v prvním případě x=2 a y= -1 - ve druhém) získáme soustavu rovnic ze kterého zjistíme hodnoty k a b:

Sečtením 1. a 2. rovnice člen po členu dostaneme: -10=5k, odkud k= -2. Dosazením k= -2 do druhé rovnice zjistíme b: -1=2·(-2)+b, b=3.

y= -2x+3 je tedy požadovaná rovnice.

Metoda 2 - vytvoříme obecnou rovnici přímky.

Obecná rovnice přímky má tvar . Dosazením souřadnic bodů A a B do rovnice získáme soustavu:

Protože počet neznámých je větší než počet rovnic, systém není řešitelný. Ale všechny proměnné lze vyjádřit prostřednictvím jedné. Například prostřednictvím b.

Vynásobením první rovnice systému číslem -1 a přidáním členu po členu k druhému:

dostaneme: 5a-10b=0. Proto a=2b.

Výsledný výraz dosadíme do druhé rovnice: 2·2b -b+c=0; 3b+c=0; c= -3b.
Dosaďte a=2b, c= -3b do rovnice ax+by+c=0:

2bx+by-3b=0. Zbývá vydělit obě strany b:

Obecnou rovnici přímky lze snadno zredukovat na rovnici přímky s úhlovým koeficientem:

Metoda 3 - vytvořte rovnici přímky procházející 2 body.

Rovnice přímky procházející dvěma body je:

Dosadíme do této rovnice souřadnice bodů A(-3; 9) a B(2;-1).

(tj. x 1 = -3, y 1 = 9, x 2 = 2, y 2 = -1):

a zjednodušit:

odkud 2x+y-3=0.

Ve školních kurzech se nejčastěji používá rovnice přímky s úhlovým koeficientem. Nejjednodušší je ale odvodit a použít vzorec pro rovnici přímky procházející dvěma body.

Komentář.

Jestliže při dosazení souřadnic daných bodů jeden ze jmenovatelů rovnice

se rovná nule, pak se požadovaná rovnice získá tak, že se odpovídající čitatel rovná nule.

Příklad 2

Napište rovnici pro přímku procházející dvěma body C(5; -2) a D(7;-2).

Do rovnice přímky procházející 2 body dosadíme souřadnice bodů C a D.

Budiž uděleny dva body M 1 (x 1, y 1) A M 2 (x 2, y 2). Zapišme rovnici přímky ve tvaru (5), kde k stále neznámý koeficient:

Od věci M 2 patří k dané přímce, pak její souřadnice splňují rovnici (5): . Vyjádřením odtud a dosazením do rovnice (5) získáme požadovanou rovnici:

Li tuto rovnici lze přepsat do formy, která je pro zapamatování výhodnější:

(6)

Příklad. Napište rovnici přímky procházející body M 1 (1,2) a M 2 (-2,3)

Řešení. . Pomocí vlastnosti proporce a provedením nezbytných transformací získáme obecnou rovnici přímky:

Úhel mezi dvěma přímkami

Uvažujme dvě přímky l 1 A l 2:

l 1: , , A

l 2: , ,

φ je úhel mezi nimi (). Z obr. 4 je zřejmé: .

Odtud nebo

Pomocí vzorce (7) můžete určit jeden z úhlů mezi přímkami. Druhý úhel je roven .

Příklad. Dvě přímky jsou dány rovnicemi y=2x+3 a y=-3x+2. najdi úhel mezi těmito čarami.

Řešení. Z rovnic je zřejmé, že k 1 =2, ak 2 =-3. Dosazením těchto hodnot do vzorce (7) zjistíme

. Úhel mezi těmito čarami je tedy roven .

Podmínky rovnoběžnosti a kolmosti dvou přímek

Pokud rovnou l 1 A l 2 jsou tedy paralelní φ=0 A tgφ=0. ze vzorce (7) vyplývá, že , odkud k 2 = k 1. Podmínkou rovnoběžnosti dvou přímek je tedy rovnost jejich úhlových koeficientů.

Pokud rovnou l 1 A l 2 jsou tedy kolmé φ=π/2, a2 = π/2+ ai. . Podmínkou kolmosti dvou přímek tedy je, že jejich úhlové koeficienty jsou inverzní co do velikosti a opačného znaménka.

Vzdálenost od bodu k řádku

Teorém. Je-li dán bod M(x 0, y 0), pak vzdálenost k přímce Ax + Bу + C = 0 je určena jako

Důkaz. Nechť bod M 1 (x 1, y 1) je základna kolmice svržené z bodu M k dané přímce. Pak vzdálenost mezi body M a M 1:

Souřadnice x 1 a y 1 lze najít řešením soustavy rovnic:

Druhá rovnice soustavy je rovnicí přímky procházející daným bodem M 0 kolmým k dané přímce.

Převedeme-li první rovnici soustavy do tvaru:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

pak řešením dostaneme:

Dosazením těchto výrazů do rovnice (1) zjistíme:

Věta byla prokázána.

Příklad. Určete úhel mezi přímkami: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

ki = -3; k2 = 2 tanj=; j = p/4.

Příklad. Ukažte, že přímky 3x – 5y + 7 = 0 a 10x + 6y – 3 = 0 jsou kolmé.

Zjistíme: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, tedy přímky jsou kolmé.

Příklad. Jsou dány vrcholy trojúhelníku A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Najděte rovnici výšky nakreslenou z vrcholu C.

Najdeme rovnici strany AB: ; 4x = 6r – 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Požadovaná výšková rovnice má tvar: Ax + By + C = 0 nebo y = kx + b.

k= . Pak y =. Protože výška prochází bodem C, pak její souřadnice splňují tuto rovnici: odkud b = 17. Celkem: .

Odpověď: 3x + 2 roky – 34 = 0.

Vzdálenost od bodu k přímce je určena délkou kolmice nakreslené od bodu k přímce.

Pokud je přímka rovnoběžná s promítací rovinou (h | | P 1), pak za účelem určení vzdálenosti od bodu A na přímku h je nutné snížit kolmici z bodu A do horizontály h.

Podívejme se na složitější příklad, kdy trvá přímka obecná pozice. Nechť je nutné určit vzdálenost od bodu M na přímku A obecná pozice.

Definiční úkol vzdálenosti mezi rovnoběžnými čarami je řešena obdobně jako předchozí. Na jedné přímce se vezme bod a z ní se na jinou přímku spustí kolmice. Délka kolmice se rovná vzdálenosti mezi rovnoběžnými čarami.

Křivka druhého řádu je přímka definovaná rovnicí druhého stupně vzhledem k aktuálním kartézským souřadnicím. V obecném případě Ax 2 + 2Bxy + Su 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0,

kde A, B, C, D, E, F jsou reálná čísla a alespoň jedno z čísel A 2 + B 2 + C 2 ≠0.

Kruh

Střed kruhu– jedná se o geometrické těžiště bodů v rovině stejně vzdálených od bodu v rovině C(a,b).

Kruh je dán následující rovnicí:

Kde x,y jsou souřadnice libovolného bodu na kružnici, R je poloměr kružnice.

Znaménko rovnice kruhu

1. Chybí člen s x,y

2. Koeficienty pro x 2 a y 2 jsou stejné

Elipsa

Elipsa se nazývá geometrické místo bodů v rovině, přičemž součet vzdáleností každého z nich od dvou daných bodů této roviny se nazývá ohniska (konstantní hodnota).

Kanonická rovnice elipsy:

X a y patří k elipse.

a – hlavní poloosa elipsy

b – vedlejší vedlejší osa elipsy

Elipsa má 2 osy symetrie OX a OU. Osy souměrnosti elipsy jsou její osy, bodem jejich průsečíku je střed elipsy. Osa, na které se ohniska nacházejí, se nazývá ohnisková osa. Průsečík elipsy s osami je vrcholem elipsy.

Poměr komprese (napětí): ε = s/a– excentricita (charakterizuje tvar elipsy), čím je menší, tím méně je elipsa prodloužena podél ohniskové osy.

Pokud středy elipsy nejsou ve středu C(α, β)

Hyperbola

Nadsázka se nazývá geometrické místo bodů v rovině, absolutní hodnota rozdílu vzdáleností, z nichž každý ze dvou daných bodů této roviny, nazývaných ohniska, je konstantní hodnotou odlišnou od nuly.

Kanonická rovnice hyperboly

Hyperbola má 2 osy symetrie:

a – skutečná poloosa symetrie

b – pomyslná poloosa symetrie

Asymptoty hyperboly: