Atsitiktinė taško trajektorija kaip Markovo procesas. Pagrindinės Markovo procesų sampratos. Gauso difuzijos procesas

IN pastaraisiais metais Plačiai paplito Markovo procesų teorijos rezultatų panaudojimu pagrįsti stochastinių sistemų statistinės analizės, įvertinimo ir optimalaus valdymo metodai. Šiame skyriuje aptariamas Markovo procesų teorijos metodų taikymas tiesinių ir netiesinių stochastinių sistemų statistinei analizei.

Fokerio – Planko – Kolmogorovo lygtis. Markovo procesų teorijoje parabolinio tipo dalinės diferencialinės lygtys gaunamos ištisinio Markovo proceso sąlyginiams (pereinamiesiems) ir besąlyginiams tikimybių pasiskirstymo tankiams. x(t). Taikoma skaliariniam Markovo procesui x(t) tankio lygtis , vadinama Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) lygtimi, turi formą

Funkcijos a (x, t)Irb(x, t) vadinami atitinkamai Markovo proceso dreifo ir difuzijos koeficientais x(t).

Daugiamačiu atveju lygtis FPK vektoriniam Markovo procesui x(t), susidedantis iš P komponentas , parašyta taip:

Kur - dreifo koeficientų vektorius; -vektoriaus proceso difuzijos koeficientų matrica x(t).

FPC lygties integravimas tam tikrai pradinei sąlygai , galima nustatyti nagrinėjamo Markovo proceso tikimybių pasiskirstymo tankį vėlesniais laikotarpiais.

Stochastinės diferencialinės lygtys. Tarp įvairių nuolatinių Markovo procesų praktinėse problemose, ypač didelę reikšmę turi vadinamuosius difuzinius Markovo procesus, kurių laiko kitimas apibūdinamas formos diferencialinėmis lygtimis

kur yra standartinis baltas triukšmas.

Tokios lygtys vadinamos stochastinėmis diferencialinėmis lygtimis.

Formos (2.53) lygtis gali būti parašyta tiesiogiai tiriamai dinaminei sistemai, jei šios sistemos atsitiktinis įvesties veiksmas iš tikrųjų gali būti aproksimuotas standartiniu baltuoju triukšmu. Pavyzdžiui, vienmatė sistema, susidedanti iš integruojančios grandies 1/p, apima netiesinis grįžtamasis ryšys f(x), veikiami baltas triukšmasįėjime atitinka pirmos eilės stochastinę diferencialinę lygtį

Naudojant filtrų formavimo metodą, lygtys, apibūdinančios spalvoto triukšmo veikiamų sistemų elgseną, gali būti sumažintos iki formos (2.53).

Pavyzdys. Tegul tiriama dinaminė sistema apibūdinama aperiodinės jungties perdavimo funkcija

Išorinė įtaka – atsitiktinis procesas su spektriniu tankiu

Pelnas KAM yra Gauso atsitiktinis kintamasis, apibūdinamas parametrais m k Ir Dk.

Norėdami apibūdinti šią sistemą stochastine diferencialine lygtimi, perrašome ryšį (2.54) į normaliąją diferencialinę lygtį:

Paskutinę lygtį sujungiame su formavimo filtro lygtimi , anksčiau gautas [žr formulė (2,30")].

ir atsitiktinio parametro formavimo filtro lygtį

Dėl to gauname (2.53) formos stochastinę diferencialinę lygtį, apibūdinančią nagrinėjamą dinaminę sistemą, kurioje vektorinis atsitiktinis procesas x(t), kintamųjų sujungimas kaip komponentai y, x 1 Ir Į, yra difuzinis Markovo procesas. Vektorinės funkcijos komponentai f T (x, t) – n inšiuo atveju yra lygūs

Baltasis triukšmas yra skaliarinis atsitiktinis procesas, nes in; (2.56) ir (2.57) lygčių dešinės pusės turi tą pačią išorinę atsitiktinę įtaką, ir

Kyla klausimas, kaip išreiškiami dreifo koeficientai? a (x, t) ir difuzija b(x, t),įtraukta į FPC lygtį (2.51) arba (2.52). apibūdinantys tankio pokyčius p(x, t) difuzinio Markovo proceso tikimybių skirstiniai x(t), per f(x, t) Ir ? Priklausomai nuo atsakymo į šį klausimą, išskiriamos stochastinės Ito ir Stratonovičiaus diferencialinės lygtys. Ito lygtyje skaliariniu atveju dreifo ir difuzijos koeficientai yra atitinkamai lygūs. f(x, t) Ir . Stratonovičiaus stochastinės diferencialinės lygties atveju šiuos koeficientus lemia santykiai *(* Dimentberg M.F. Netiesinės stochastinės mechaninių virpesių problemos. M.: Nauka, 1980. 368 psl.)

Konkreti naudojama stochastinės diferencialinės lygties interpretacijos versija priklauso nuo analizuojamos fizinės sistemos charakteristikų.

Labiausiai paplitęs atvejis, aptariamas vėliau šiame skyriuje, kai tai nepriklauso nuo X, svyravimų korekcija į dreifo koeficientą, atsirandanti nagrinėjant Stratonovičiaus stochastinę diferencialinę lygtį, išnyksta ir abi interpretacijos duoda tuos pačius rezultatus.

Sunku analitiškai ir net skaitmeniniu būdu integruoti parabolinio tipo dalinę diferencialinę lygtį, pvz., FPC lygtį, ypač tais atvejais, kai vektoriaus matmuo X puiku. Tik vienmačiais ir kai kuriais dvimačiais atvejais galima rasti analitinį šios lygties sprendimą, atitinkantį netiesinės sistemos stochastinę diferencialinę lygtį. Tačiau kiekvienas toks sprendimas yra labai įdomus, nes jis yra pats didžiausias pilnas aprašymas sistemos tikslumas, leidžiantis įvertinti gautų sprendinių tikslumą apytiksliais metodais – skaičiavimu, pavyzdžiui, taikant statistinio tiesinimo metodą.

Ryžiai. 2.1. Netiesinė pirmos eilės sistema.

Taigi, stacionarus FPC lygties sprendimas, atitinkantis pirmos eilės netiesinę sistemą, parodytą Fig. 2.4, už p(x,∞)=p st (x) yra išraiška

kurioje integravimo konstanta SU yra pasirinktas iš normalizavimo sąlygos . Esant stacionariai tiesinei sistemai su f(x). =- X iš (2.60) gauname Gauso tankį . Jei atsiliepime yra relė su prisotinimo lygiu A, Tai

Tankiai (2,61) atitinka ir .

Sklaidos proceso momentų lygtys. Pagrindinis FPC lygties taikymas a priori sistemų tikslumo analizėje yra gauti su jos pagalba įprastas diferencialines lygtis matematinių lūkesčių vektoriui. mx(t) ir koreliacijos matrica Kx(t) difuzinės Markovo sistemos fazės vektorius. Šios lygtys yra tikslios, jei stochastinė diferencialinė lygtis (2.53) yra tiesinė, o apytikslė netiesinės lygties (2.53) atveju.

Iš FPC lygties gauti lygtis ir tuo atveju, kai x(t)-skaliarinis procesas, padauginkite (2,51) iš X ir integruoti abi puses per šį kintamąjį per begalines ribas. Tada gauname

Kairėje lygtyje (2.62) turime

o integralą dešinėje apskaičiuojame integravimo dalimis metodu ir atsižvelgdami į ribines sąlygas. Galutinis rezultatas yra toks:

Sklaidos lygtis D x gaunamas padauginus kairę ir dešinę (2,51) puses ir integruojant jas į kintamąjį X begalinėse ribose. Dėl to mes turime

Ryšiai (2.64) - (2.65) nustato ryšį tarp laiko išvestinių iš m x Ir D x difuzijos procesas x(t) ir jo pasiskirstymo tankis p(x, t). Negaliu rasti nė vieno iš jų mx(t) Ir Dx(t), jei tankis p(x, t) nežinomas.

Momentų lygtys tiesinėje sistemoje. Jei dreifo koeficientas f(x, t) dešinėje stochastinės diferencialinės lygties (2.57) pusėje – tiesinė atžvilgiu X, t.y. f(x,t)=a(t)x + b(t), tada santykiai (2.64) ir (2.65) virsta lygtimis už m x Ir Dx, tai yra, jie tampa uždari. Tiesa, šiuo atveju

todėl pirmos eilės linijinei Markovo sistemai

(2.66) ir (2.67) lygčių integravimas duotomis pradinėmis sąlygomis m x (t 0) Ir Dx(t0) leidžia nustatyti mx(t) Ir Dx(t).

Jei nagrinėjama sistema yra stacionari ir stabili, o reikalingos yra m x Ir D x pastovioje būsenoje, tada šias vertes galima rasti iš algebrines lygtis

kadangi pastovioje būsenoje tokiai sistemai ir

Daugiamačiu atveju lygtys už t x Ir K x pasirodo taip:

Matmens vektorinė lygtis (2.69). P kartu su matmens matricine lygtimi (2.70). p×p vadinama koreliacine lygčių sistema. Sistemos (2.69) ir (2.70) viena nuo kitos nepriklauso, todėl jas galima integruoti atskirai. Atsižvelgiant į matricos simetriją K x, Norint jį nustatyti, pakanka integruoti n(n+1)/2įvairių kovariacijos momentų lygtys K x. Pradinės sąlygos (2.69) ir (2.70) yra matematinių lūkesčių vektorius m x (t 0) ir koreliacijos matrica K x (t 0) fazės vektorius x(t 0) pradiniu laiko momentu.

Jeigu tiriama tiesinė Markovo sistema yra stacionari ir stabili, o ieškomos yra t x Ir K x pastovios būsenos, tada jas galima rasti iš algebrinių lygčių sistemų

Vienas iš sprendimo būdų gali būti atitinkamų diferencialinių lygčių (2.69) ir (2.70) sistemų integravimas savavališkai nurodytomis pradinėmis sąlygomis. Sprendimo konvergenciją užtikrina tiriamos dinaminės sistemos stabilumas.

Apytikslės lygtys difuzijos proceso momentams netiesinėje sistemoje nustatyti. Bendruoju netiesinio dreifo koeficiento atveju gauti apytikslę uždarą lygčių sistemą iš (2.64) ir (2.65) f(x, t) tarkime, kad tankis p(x, t) fazių vektoriaus tikimybių skirstinys yra Gauso. At p(x, t) =p Г (x, t) galima apskaičiuoti integralus dešiniosiose santykių (2.64) ir (2.65) pusėse. Gautos funkcijos priklauso nuo mx(t) Ir Dx(t), apibūdina p Г (x, t):

Pakeitę (2.73) ir (2.74) į (2.64) ir (2.65), gauname dviejų netiesinių įprastų diferencialinių lygčių sistemą:

Šios sistemos integravimas tam tikram m x (t 0) Ir Dx(t0) leidžia rasti mx(t) Ir Dx(t), y., apytiksliai išspręsti nagrinėjamos netiesinės sistemos statistinės analizės problemą. Dėl „tipiškų“ netiesiškumo f(x) formulės f 0 (m x , D x) Ir K(m x , D x) galima paimti iš statistinių tiesiškumo koeficientų išraiškų lentelių.

Pavyzdys. Leisti f(x) in (2.53) yra relės charakteristika f(x)=-Aženklas (x).

Dėl šio netiesiškumo f (žr. pavyzdį 1.1 skyriuje) ir

Lygtys, skirtos m x Ir D x tokioje sistemoje jie turi formą

Pastovios būsenos vertės ir gaunamos nustatant ir .

Mes turime . Palyginus apytikslę reikšmę su tikslia verte, gauta anksčiau sprendžiant FPC lygtį, matome, kad Gauso skirstinio prielaida p(x) nagrinėjamoje netiesinėje sistemoje su grįžtamojo ryšio rele atsiranda dispersijos paklaida, lygi 22%.

Daugiamatis atveju vektorius mx(t) ir koreliacijos matrica Kx(t) galima rasti kaip dviejų įprastų diferencialinių lygčių sistemų bendro integravimo rezultatas

Matricos funkcija, kurios elementai yra vektorinės funkcijos komponentų dalinės išvestinės vektoriaus komponentų atžvilgiu t x.

Jei tiriama sistema apima tik tiesinius ryšius ir tipinius vienmačius reikšmingus netiesiškumus, tada patogu sukurti (2.76) formos koreliacijos sistemą, kartu naudojant statistinį netiesinių jungčių linijavimą ir lygčių koreliacinę sistemą (2.69) - (2.70) statistiškai tiesinei sistemai.

Kai valdomas orlaivio judėjimas apibūdinamas netiesinėmis stochastinėmis diferencialinėmis lygtimis, kurių dešiniosiose pusėse yra sklandžiai daugiamačiai netiesiniai, apytikslė tokio judėjimo tikslumo analizė gerokai supaprastėja, palyginti su tiesioginiu lygčių (2.76) naudojimu. jei naudosime vadinamąją kvazilinijinės koreliacijos lygčių sistemą. Sudarant tokią sistemą bendras tiriamos sistemos judėjimas skirstomas į du judesius: vidutinį ir perturbuotą. Vidutiniam judėjimui, apibūdinančiam fazių vektoriaus komponentų matematinių lūkesčių kitimą apibūdinti, naudojamos netiesinės sistemos lygtys su pradinių sąlygų ir išorinių poveikių matematiniais lūkesčiais (vidutinėmis reikšmėmis). Apibūdinti sutrikdytą judesį, apibūdinantį fazės vektoriaus komponentų atsitiktinius nuokrypius nuo jų vidutinių verčių, naudojamos tiesinės lygtys, o matematiniai fazių koordinačių lūkesčiai atitinkamu laiku laikomi etaloninėmis linijavimo vertėmis.

Pavyzdys. Panagrinėkime balistinio orlaivio nusileidimo, t. y. nusileidimo be nulinio keltuvo, problemą Žemės atmosferoje. Išilginis transporto priemonės judėjimas apibūdinamas netiesinėmis diferencialinėmis lygtimis

Reikia įvertinti transporto priemonių trajektorijų sklaidą, darant prielaidą, kad atsitiktiniai dydžiai V,θ, N Ir Lšiuo metu t 0 nusileidimo pradžia; pastovios vertės R, C x, S, t Ir g, o priklausomybė yra eksponentinė , Kur.

Perrašykime aparato judėjimo lygtis vektorinės lygties forma

Įsivaizduokime fazės vektorių X kaip x=t x +Δx, ir netiesinė vektorinė funkcija f(x, t) linijuoti kaimynystėje x=t x:

kur yra vektorinės funkcijos dalinių išvestinių 4×4 matrica f(x, t) pagal vektorinius komponentus X, skaičiuojama ties x=t x. Gauname lygtį

iš kurios, apskaičiuojant vidurkį, tiesiogiai randame matematinių lūkesčių vektoriaus lygtį

savo išvaizda panašus į (2,77). Iš (2.78) atėmę (2.79) gauname tiesinę sutrikusio judėjimo lygtį

kuria remdamiesi sudarome fazinio vektoriaus koreliacinės matricos lygtį

Jungtinis (2.80) ir (2.81) lygčių integravimas, kartu sudarant kvazilinijinę lygčių koreliacijos sistemą, tam tikromis pradinėmis sąlygomis t x (t 0) Ir K x (t 0) leidžia nustatyti t x (t) Ir Kx(t) vėlesniais laiko momentais. Sprendimo tikslumą lemia vektoriaus funkcijos aproksimacijos tikslumas pagal tiesinę priklausomybę nuo tų atsitiktinių nuokrypių verčių. Δx(t) fazės vektorius x(t), kurios vyksta nagrinėjamoje užduotyje esant nurodytoms atsitiktinių pradinių sąlygų statistinėms charakteristikoms.

2.6. STATISTINIS MODELIAVIMO METODAS (MONTE CARLO)

Statistinio modeliavimo metodas yra universalus stochastinių sistemų (tiesinių ir netiesinių, stacionarių ir nestacionarių) statistinės analizės metodas, veikiamas įvairių tipų atsitiktinių veiksnių su jų savavališkomis statistinėmis savybėmis. Literatūroje šis metodas dar vadinamas statistinio testo metodu arba Monte Karlo metodu.

Statistinio modeliavimo metodo pagrindas yra didelių skaičių dėsnis, kuris susideda iš to, kad vidurkio rezultatas yra susijęs su atsitiktiniu veiksniu (įvykiu, kiekiu, procesu ar lauku), apskaičiuotu pagal P jo įgyvendinimai nustoja būti atsitiktiniai ir gali būti laikomi atitinkamos nagrinėjamo veiksnio charakteristikos įvertinimu. Visų pirma, pagal teoremą. Bernoulli, atliekant daugybę eksperimentų (realizacijų), atsitiktinio įvykio dažnis artėja prie šio įvykio tikimybės. Panašios teoremos egzistuoja atsitiktinių dydžių, procesų ir laukų statistinėms charakteristikoms.

Kalbant apie a priori stochastinių sistemų tikslumo analizę, statistinio modeliavimo metodas susideda iš statistinių eksperimentų atlikimo kompiuteriu, kurie imituoja tiriamos sistemos veikimą atsitiktinių veiksnių įtakoje, ir vėliau apdorojant gautus rezultatus. šiuose eksperimentuose naudojant matematinės statistikos metodus atitinkamoms statistinėms charakteristikoms nustatyti.

Statistinio modeliavimo technika. Pirmasis pasirengimo statistiniam stochastinės sistemos modeliavimui etapas – pasirenkamas kompiuterio tipas (skaitmeninis kompiuteris, AVM arba analoginis-skaitmeninis kompleksas), kuriame patartina atlikti modeliavimą. Tai atsižvelgiama į tiriamos sistemos sudėtingumą, netiesiškumo pobūdį ir skaičių joje, procesų greitį įvairiose sistemos dalyse (sąsajose), atsitiktinių sistemą veikiančių trikdžių tipą ir charakteristikas bei kitus veiksnius.

Išaiškinta galimybė panaudoti tiriamą sistemą veikiančių atsitiktinių procesų kanoninius išplėtimus. Jeigu tokie išsiplėtimai žinomi visiems atsitiktinės funkcijos Atsižvelgiant į sistemą, sistemos modeliavimas gali būti žymiai supaprastintas, nes tokiu atveju modeliuojant reikia gauti tik atsitiktinių dydžių (pradinių sąlygų, sistemos parametrų ir kanoninių plėtimų koeficientų) realizacijas.

Bendresnė ir sudėtingesnė situacija yra tada, kai sistemos trikdžiai apima atsitiktinius procesus, kurių kanoniniai išplėtimai nėra žinomi. Šiuo atveju lygtys, apibūdinančios tiriamą dinaminę sistemą, redukuojamos į stochastinių diferencialinių lygčių sistemą normalios formos pavidalu.

čia λ yra atsitiktinių sistemos parametrų vektorius; - vektorinis baltasis triukšmas. Pradinių sąlygų vektorius x(t 0) gali būti ir atsitiktinis.

Kai kurie atsitiktiniai sistemą veikiantys trikdžiai gali būti ne baltas triukšmas. Tokiems procesams būtina sudaryti formavimo filtrų diferencialines lygtis. Modeliuojant šias lygtis reikia integruoti kartu su sistemos (2.82) lygtimis.

Toliau sistemos skaitmeniniame kompiuteryje (2.82) sukompiliuojama integravimo programa kartu su formavimo filtrų lygtimis arba skaitmeninio kompiuterio modeliavimo schema. Būdingi programos elementai yra blokai, pateikiantys sistemoje atsižvelgtų atsitiktinių veiksnių įgyvendinimus.

Atsitiktinių dydžių realizacijų gavimas kompiuteryje. Modeliuojant problemą AVM, o kartais ir skaitmeniniame kompiuteryje, atsitiktinių dydžių diegimai nurodomi naudojant atsitiktinių skaičių lenteles. Labiausiai paplitusios yra atsitiktinių skaičių lentelės, kurioms taikomas normalus (Gauso) ir vienodas skirstinys. Įprastai paskirstytų atsitiktinių skaičių lentelėje yra Gauso atsitiktinių dydžių, atitinkančių ir , realizacija. Paėmus skaičius iš šios lentelės, Gauso atsitiktinių dydžių realizacija su charakteristikomis ir apskaičiuojama naudojant formulę.

Tolygiai paskirstytų skaičių lentelėje yra realizacijų, kurios paklūsta tolygiam tikimybių pasiskirstymui per intervalą. Norint gauti vertės suvokimą X, tolygiai paskirstytas per intervalą iš lentelės paimti skaičiai konvertuojami naudojant ryšį

Pagrindinis būdas gauti atsitiktinių dydžių įgyvendinimą skaitmeniniame kompiuteryje yra naudoti specialias standartines procedūras, vadinamas pseudoatsitiktinių skaičių jutikliais. Kiekvieną kartą, kai pasiekiamas jutiklis, apskaičiuojamas naujas atsitiktinis skaičius. Skaičiavimas atliekamas naudojant pasikartojančią formulę, kurios argumentai yra keli atsitiktiniai skaičiai, apskaičiuoti ankstesniuose šios paprogramės skambučiuose. Esant fiksuotai pradinei (pradinei) atsitiktinių skaičių rinkiniui, visi tolesni jutiklio rekursyviai apskaičiuoti skaičiai bus apibrėžti, priklausomai nuo pradinės aibės, todėl naudojant jutiklį gauti skaičiai vadinami pseudoatsitiktiniais. Jutiklyje įdiegta pasikartojimo formulė parenkama taip, kad pseudo atsitiktiniai skaičiai, gautas naudojant jutiklį, turėjo reikiamas statistines savybes – atitiko tam tikrą tikimybių pasiskirstymo tankį p(x), o koreliacijos koeficientas buvo lygus nuliui.

Paprastai standartinių skaitmeninių kompiuterių rutinų bibliotekoje yra du pseudoatsitiktinių skaičių jutikliai: tolygiai paskirstyti per intervalą ir Gauso su ir .

Gauso vektoriaus atsitiktinio kintamojo realizacijų gavimas nesukelia jokių sunkumų, jei šis vektorius nekoreliuoja. Tokio vektoriaus atskirų komponentų realizacijas galima apskaičiuoti naudojant Gauso skaičiaus jutiklį nepriklausomai vienas nuo kito. Jei Gauso vektorius X yra koreliuojamas, jo realizacijos gaunamos tiesiškai transformuojant nekoreliuoto Gauso vektoriaus realizacijas U to paties matmens, sukurta naudojant Gauso pseudoatsitiktinių skaičių jutiklį. Prie vektoriaus U matematinis lūkestis yra nulinis vektorius, o koreliacijos matrica yra tapatybė. Tiesinės transformacijos matrica A parenkama taip, kad gauta kovariacijos matrica K x buvo lygi nurodytai vertei. Jį nustatant naudojamas santykis (1.26).

Kai iš (1.26) gauname tokią lygtį A:

Ši lygtis turi daugybę sprendimų. Jei ieškosite A formos trikampės matricos pavidalu

tada iš (2.83) gauname n(n+1)/2 lygtis šios matricos elementams, kurias galima išspręsti rekursyviai. Rezultatas yra šios matricos elementų išraiškos A:

kur yra duotosios koreliacinės matricos elementai.

Pavyzdys. Leisti X- dvimatis vektorius su koreliacijos matrica

Raskime matricą A, toks kad

Kur-nekoreliuotas vektorius su .

Naudodami ryšius (2.84) randame ac t.y.

Daugeliu atvejų reikia gauti atsitiktinio dydžio realizacijas, kurių pasiskirstymas nėra nei vienodas, nei Gauso. Šiuo atveju labiausiai paplitęs modeliavimo metodas yra netiesinė realizacijų transformacija, gauta naudojant tolygiai paskirstytą skaičių jutiklį.

Netiesinės transformacijos nustatymo problema y=f(x), jungiantys atsitiktinius dydžius X Ir adresu su nurodytais pasiskirstymo tankiais p(x) Ir RU)(tankis p(x)-uniform), yra atvirkštinis atsitiktinio dydžio netiesinės funkcijos pasiskirstymo nustatymo problemai, nagrinėjamai skyriuje. 1.1. Jei paskirstymas p(x)- vienodas, tada iš santykio (1.32) turime , iš kurio su monotoniškai didėjančia funkcija gauname

Kur F (y)- dydžio integralinio tikimybių pasiskirstymo funkcija u.

Funkcija yra atvirkštinė norimos funkcijos f(x). Taigi, norimos netiesinės transformacijos apibrėžimas y = f(x) sumažina iki radimo iš tam tikro tankio RU) integrali funkcija F(y) ir vėlesnis lygties sprendimas F (y) = x palyginti u.

Pavyzdys. Leisti

Tada intervale (0, 1) turime xF(y)=y 2 , iš kur tu esi. e.

Kitoks požiūris gali būti taikomas tais atvejais, kai reikia gauti atsitiktinio dydžio realizacijas adresu pagal esamą jo histogramą arba kai skirstinys RU) turi sudėtingą formą, kurią galima aproksimuoti pagal laiptelio priklausomybę.

Tegul intervalas [y 0 , y n ] praktiškai galimos atsitiktinio dydžio reikšmės y, turintis paskirstymą RU), padalintas į P plotai, kurių kiekvienoje tankis RU) galima manyti, kad jie yra vienodi. Tikimybė pasiekti kiekvieną intervalą

ir . Naudojant tokį apytikslį RU)

įgyvendinimą galima nustatyti du kartus iškvietus tolygiai paskirstytų pseudoatsitiktinių skaičių generatorių. Pirmojo skambučio metu paleidžiamas įgyvendinimo smūgio rezultatas y i vienu iš intervalų. Dėl to tikimybės P l hitai y i intervalai yra suderinami su tolygiai paskirstytų pseudoatsitiktinių skaičių verčių intervalais iš bendro diapazono. Jei atsitiktinis skaičius x i р.р, gautas prisijungus prie jutiklio, patenka į intervalą, jis yra susietas su įgyvendinimo smūgiu y i intervale Antrą kartą prisijungus prie jutiklio, atkuriama įgyvendinimo vertė y i kaip atsitiktinis dydis, tolygiai paskirstytas intervale.

Atsitiktinių procesų realizacijų kompiuterinis modeliavimas. AVM atsitiktinių procesų įgyvendinimas gaunamas naudojant triukšmo generatorius. Taip vadinamas elektroninis prietaisas, kurio išėjimo elektros įtampa yra atsitiktinis procesas su nurodytomis statistinėmis charakteristikomis. Orlaivių valdomo judėjimo statistiniam modeliavimui naudojami generatoriai sukuria vienodo spektrinio tankio triukšmą infra-žemų dažnių diapazone (iki Hz) ir Gauso vienmatį tikimybių pasiskirstymą. Statistiškai modeliuojant sistemas, kurių dažnių juostos plotis yra siauresnis nei , pavyzdžiui, orlaivių valdymo sistemas, generatorių triukšmas paprastai gali būti laikomas baltu. Spalvotas triukšmas, veikiantis tiriamą sistemą, yra imituojamas AVM, leidžiant baltą triukšmą per tinkamai parinktą formavimo filtrą.

Skaitmeniniame kompiuteryje baltas triukšmas modeliuojamas aproksimuojant jį maždaug laipsniškai absoliučiai atsitiktiniu procesu x(t). Pastarųjų realizacija apskaičiuojama pagal šią taisyklę. Proceso argumentas – laikas t- keičiasi diskretiškai žingsniais Δt. Kiekviename veiksme įgyvendinimo reikšmė nustatoma iš naujo naudojant Gauso pseudoatsitiktinių skaičių jutiklį

Kur IN- pastovus daugiklis.

Vertė išlieka pastovi per visą intervalą. Pseudoatsitiktiniai skaičiai, gauti naudojant jutiklį, yra tarpusavyje nesusiję. Todėl koreliacija tarp žingsninio proceso verčių x(t)įvairiais intervalais ir , nėra. Todėl šio proceso koreliacinė funkcija yra lygi

Su požiūriu . Vadinasi, pakankamai mažam intervalui, procesas x(t) su koreliacijos funkcija Rx(t), apibrėžiamas ryšiu (2.85), gali būti laikomas apytiksliu baltojo triukšmo apytiksliu intensyvumu . Kuo mažesnis intervalas, tuo didesnis aproksimacijos tikslumas .

Skaitmeniniu kompiuteriu integruojant stochastines diferencialines lygtis (2.82), intervalo reikšmė , naudojamas baltojo triukšmo modeliavimui , veikiantis sistemoje negali būti nustatytas mažesnis nei integravimo žingsnis. Vadinasi, skaitinės integracijos žingsnis turi būti nustatytas pagal sąlygą

kur yra intervalas, per kurį laipsniškas absoliučiai atsitiktinis procesas gana tiksliai aproksimuoja baltąjį triukšmą; - skaitinio integravimo žingsnis, užtikrinantis priimtiną skaičiavimų tikslumą pasirinktu sistemos skaitmeninio integravimo metodu (2.82).

Eksperimentai su skaitmeniniu kompiuteriu rodo, kad naudojant visus skaitmeninės integracijos metodus , todėl norint užtikrinti baltojo triukšmo aproksimavimą žingsniniu procesu, sistemos (2.82) integravimas turi būti atliekamas etapais

Iš visų skaitmeninės integracijos metodų vienam integravimo žingsniui reikia mažiausiai kompiuterio laiko, kai integruojama naudojant Eulerio metodą:

Dėl to šis metodas turėtų būti naudojamas statistiniam sistemų modeliavimui, imant , ir koeficientas IN apskaičiuoti pagal formulę

kur yra baltojo triukšmo, veikiančio sistemą, intensyvumas.

Statistinio modeliavimo atlikimas ir jo rezultatų apdorojimas. Sudarius tiriamos dinaminės sistemos modeliavimo skaitmeniniame kompiuteryje programą arba automatiniu kompiuteriu suvedus simuliacinę schemą, iš jų galima gauti reikiamą tiriamos sistemos išėjimo koordinačių realizacijų skaičių. Modeliavimo rezultatų apdorojimas gali būti atliekamas tiek modeliavimo metu, tiek jį užbaigus, naudojant matematinės statistikos metodus. Atsižvelgiant į konkretų statistinio modeliavimo tikslą, apdorojimo rezultatai gali būti sistemos išėjimo koordinačių matematinių lūkesčių, dispersijų, tarpusavio koreliacijos momentų, koreliacijos funkcijų ir kitų statistinių charakteristikų įverčiai. Kuo didesnis statistiškai apdorojamų diegimų skaičius, tuo tikslesnis įvertinimas. Įvairių parametrų įverčių pasikliautinųjų intervalų ir pasikliovimo tikimybių skaičiavimo ryšiai, priklausomai nuo jiems gauti panaudotų realizacijų skaičiaus, pateikti knygose.

Jei tiriama sistema ir ją veikiantys trikdžiai yra tokie, kad nagrinėjamas išvesties kintamasis yra ergodinis stacionarus procesas, tai modeliuojant pakanka apsiriboti tik vienos ilgos šio kintamojo realizavimo gavimu. Kitais atvejais būtina gauti ir apdoroti kelis išvesties koordinačių įgyvendinimus.

ORLAIVIŲ BŪKLĖS VERTINIMŲ NUSTATYMO METODAI

3.1. ĮVERTINIMO PROBLEMA KAIP SPECIALUS STATISTINIO SPRENDIMO ATVEJIS. PAGRINDINĖS SĄVOKOS IR APIBRĖŽIMAI

Suformuluokime sąmatų sudarymo problemą. Apsvarstykite atsitiktinį vektorių X, kurio pasiskirstymo tankis turi žinomą matematinę formą, bet turi daug nežinomų parametrų. Pateikiamas šio vektoriaus komponentų išmatuotų verčių pavyzdys, toliau vadinamas matavimo vektoriumi Y.

Jei, pavyzdžiui, išmatuotas N kartą T n matmenų vektoriaus komponentas X, tada vektorius Y apims N×m komponentas. Vektorius Y taip pat yra atsitiktinis, nes jame yra vadinamųjų matavimo paklaidų, kurių pasiskirstymo tankis laikomas žinomu. Naudojant matavimo vektorių Y, reikia gauti nežinomų pasiskirstymo tankio parametrų įverčius X ir nustatyti šių įverčių tikslumą.

Svarbu mokėti palyginti skirtingų to paties parametro įverčių savybes ir ypač rasti maksimalaus tikslumo įverčius. Įverčių tikslumą nustatome pagal įverčių nuokrypių nuo nežinomų įvertintų parametrų „tikrųjų verčių“ statistines charakteristikas. Pasiskirstymo tankis X, apibūdinamas tikrosiomis apskaičiuotų parametrų reikšmėmis, vadiname „tiesa“.

Tokia įverčių nustatymo problemos formuluotė vadinama statistine ir šiuo metu yra labiausiai paplitusi techninėse problemose. Tuo pačiu metu yra ir kitų vertinimo problemų formuluočių, kai negalima daryti prielaidų apie vertinamos vertės pasiskirstymą. Ši situacija nagrinėjama atskirai.

Grįžkime prie statistinio įvertinimo problemos. Pateiksime keletą apibrėžimų.

Apskaičiuojamo dydžio reikšmių funkcija, ty matavimo funkcija, ateityje bus vadinama statistika. Todėl paprasčiausia statistika yra pats matavimo vektorius Y atsitiktinio vektoriaus įvertinimas X, gautas Y matavimų pagrindu, t.y. (Y), taip pat yra statistika. Jei statistikoje yra visa reikalinga empirinė informacija skirstiniui sudaryti X, tada jis vadinamas pakankamu.

Jei įvertis pagal tikimybę suartėja su numatoma verte X neribotai padidinus imties dydį, ty vektoriaus Y matmenį, tada jis vadinamas nuosekliu.

Vektorinis įvertinimas X yra atsitiktinių argumentų funkcija. Todėl norint palyginti įverčius tarpusavyje ir pasirinkti geriausią, reikia atsižvelgti į statistines nuostolių funkcijos, vadinamosios rizikos funkcijos, charakteristikas.

Galima sukurti keletą tokių funkcijų. Dažniausiai naudojamos rizikos funkcijos yra šios.

1. Vidutinė arba a priori rizika:

Kur p(x, y)-vektorių jungtinio tikimybių skirstinio tankis X ir tu.

Integracija į (3.3) vykdoma visų galimų reikšmių srityje X ir U. Toliau tokiais atvejais integracijos ribų nenurodysime; x i y- atsitiktinių vektorių X ir Y reikšmės. Žymėjimas (y)(3.3) pabrėžia faktą, kad įvertis laikomas funkcija u. Jei balas (y) sumažina rizikos funkciją (3.3), tada ji vadinama optimalia vidutinės rizikos prasme. Vidutinė rizika (3,3) R( ) galima pateikti formoje

2. Bajeso rizika:

Kur p(x/Y)- reikšmių užpakalinis tikimybės tankis X. tam tikram (fiksuotam) Y, p(x)-vektoriaus išankstinės tikimybės tankis X, y., egzistuojanti prieš patirtį, kurioje buvo realizuotas koks nors vektorius u. Taigi Bajeso rizika dėl Bayes formulės (1.9) struktūros priklauso ne tik nuo įverčio, ​​bet ir nuo išankstinio tikimybių tankio. p(x), kuris atsispindi įraše . Įvertinimas , rizikos funkcijos minimizavimas (3.4) vadinamas optimaliu Bajeso prasme arba tiesiog Bajeso. Įrodyta, kad (3.1) formos nuostolių funkcijai Bajeso įvertis vienu metu sumažina rizikos funkcijas (3.3) ir (3.4). Įvertinimo algoritmai, pateikiantys Bajeso įverčius, paprastai vadinami Bajeso skaičiavimais.

3. Sąlyginė rizika:

Ši rizikos funkcija apibūdina įvertinimo paklaidas tam tikrai (fiksuotai) įvertinto vektoriaus vertei X. Yra ryšys tarp sąlyginės ir vidutinės rizikos:

(3.5) ir (3.6) p(y/X) Ir p(x)- atitinkamai vektoriaus sąlyginis tikimybės tankis Y o vektoriaus a priori tikimybinis tankis X. Remiantis tikimybių tankiu p(y/X) galima sudaryti didžiausios tikimybės įvertį. Tai yra įvertinimas, kuris maksimaliai padidina vadinamąją tikimybės funkciją. Paprasčiausiu atveju tikimybės funkciją galima pasirinkti kaip p(y/X),į kuriuos pakeičiamos tikrosios matavimo vertės u. Statymui p(y/X) pasiskirstymo tankio tipo žinoti nebūtina p(x), y., vektoriaus apriorinio tikimybės tankio forma X. X, X filmavimo aikštelėje.

Taip pat galima sakyti, kad pagal ankstesnį pasiskirstymą minimax įvertis yra Bajeso X, yra nepalankiausias vertinimo užduočiai. Paaiškinkime paskutinę mintį išsamiau.

Bajeso rizika galima nustatyti, jei žinomas a priori tikimybės tankio tipas p(x) vektorius X, nes pagal (1.9) sąlyginės tikimybės tankį

Kur RU)-vektoriaus tikimybės tankis Y.

Tuo atveju, kai tikimybės tankis p(x) neegzistuoja, galime sąlygiškai priskirti kiekvieną X iš tam tikro ankstesnio platinimo , priklausantis kuriai nors skirstinių klasei .

Pasirodo, kad formos (3.1) praradimo funkcijai galioja ši lygybė:

t.y. minimalus įvertis identiškas Bajeso įvertinimui apskaičiuotas ankstesniam pasiskirstymui, kuris maksimaliai padidina Bajeso riziką . Tai nustato ryšį tarp Bajeso ir minimalių įverčių.

3.2. BAYESo VERTINIMO ALGORITMAI

Kaip rodo praktika, įvertinimo algoritmų įgyvendinimo sudėtingumas priklauso, pirma, nuo vertinamos ir matuojamos dinaminės sistemos judėjimo matematinio modelio tipo ir, antra, nuo matavimų atlikimo būdo, t. y. nuo to, kaip atliekami matavimai. imamas nuolat arba diskretiškai. Panagrinėkime linijinius (tiesiniams modeliams), kvazitiesinius (tiesiniams modeliams) ir netiesinius (netiesiniams modeliams) Bajeso algoritmus. Paprastai manysime, kad matavimo informacija gaunama diskretiškai, o atitinkami algoritmai turi pasikartojančią formą. Tokia algoritmo forma patogiausia realizuoti kompiuteryje, kai įeinantys matavimo vektoriai apdorojami po vieną. Kai kuriais atvejais patogu gautus rezultatus apibendrinti nepertraukiamų matavimų atveju.

Iš Markovo proceso apibrėžimo, pateikto 5.1.6 skirsnyje, taip pat tiesiogiai iš (5.6) formulės matyti, kad

Sąlyginis tankis

vadinamas Markovo proceso perėjimo iš būsenos y momentu s į būseną x momentu t tikimybės tankiu.

Naudodami formulę (2.57) nustatome Markovo proceso daugiamatį tikimybių tankį (bet kurios baigtinės eilės).

Formulė (5.60) reiškia Markovo proceso daugiamačio tikimybių tankio faktorinaciją – jo vaizdavimą kaip vienmačio tankio ir perėjimo tikimybės tankių sandaugą. Daugiamačio tankio faktorizavimo sąlyga (5.60) - būdingas bruožas Markovo procesai (palyginkite su panašia paprastesne faktorizavimo sąlyga (5.4) procesams su nepriklausomomis reikšmėmis).

Vienmatis tankis ir perėjimo tikimybės tankis yra susiję ryšiu

Markovo proceso perėjimo tikimybės tankis nėra savavališka sąlyginio pasiskirstymo funkcija, tenkinanti tik įprastas neneigiamumo ir normalizavimo sąlygas, t.y. Ji taip pat turi atitikti tam tikrą integralią lygtį. Iš tiesų, nuo (5.60) turime

Integruodami abi šios lygybės puses, gauname

ir nuo tada

Integralinė lygtis (5.62) vadinama Kolmogorovo-Čapmano lygtimi.

5.4.2. Homogeniniai Markovo procesai.

Jei Markovo proceso tikimybių skirstinys yra nekintamas laiko poslinkiui, tada jis vadinamas homogeniniu (stacionariu). Šiuo atveju perėjimo tikimybės tankis (5,59) priklauso tik nuo vieno laiko parametro.

Vienalyčio Markovo proceso daugiamačio tankio faktorizavimo sąlyga parašyta formoje) [žr. (5.60)]

Atkreipkite dėmesį, kad vienarūšių Markovo procesų klasė sutampa su nagrinėjama vienarūšių atsitiktinių procesų su nepriklausomais prieaugiais klase.

5.4.3. Daugybinis prijungtas Markovo procesas.

Markovo procesą vadiname sujungtu, jei perėjimo tikimybės tankis priklauso nuo k ankstesnių proceso verčių [žr. (5.58)]:

Sujungto Markovo proceso daugiamačio tankio faktorizavimo sąlyga parašyta kaip

ir Kolmogorovo-Čapmano lygtis

5.4.4. Vektoriaus Markovo procesas.

Atsitiktinių procesų rinkinys sudaro vektorinį Markovo procesą, jei pilnam tikimybiniam šios aibės aprašymui būtina ir pakanka žinoti bendrą pasiskirstymą

ir sąlyginis paskirstymas

arba atitinkamą perėjimo tikimybės tankį

Pakeitę - (5.62) skaliarinius dydžius vektoriniais, gauname atitinkamus vektorinio Markovo proceso ryšius.

Kiekvienas atsitiktinis procesas, priklausantis aibei, kuri sudaro vektorinį Markovo procesą, yra vadinamas vektoriaus Markovo proceso komponentu, tačiau tai nėra skaliarinis Markovo procesas.

Atkreipkime dėmesį į ryšį tarp (vektoriaus ir daugybiškai sujungtų Markovo procesų: -susieta Markovo seka taip pat gali būti interpretuojama kaip vektorinė (dydis k) Markovo seka

5.4.5. Gauso Markovo procesas.

Markovo procesas vadinamas Gauso, jei jo skirstinys paklūsta normaliam tikimybių skirstinio dėsniui (žr. 5.2.1 skyrių). Kaip ir bet kurio Gauso proceso, Gauso Markovo proceso koreliacinė funkcija pateikia pilną tikimybinį jo aprašymą. Galima įrodyti, kad atsitiktinis procesas yra centruotas Gauso Markovo procesas tada ir tik tada, kai jo koreliacinė funkcija tenkina lygtį

Vienalyčiam Gauso Markovo procesui sąlyga (5.71) rašoma naudojant normalizuotą koreliacijos funkciją, kuri natūraliai priklauso nuo vieno argumento

Išskyrus trivialųjį sprendimą, (5.72) lygtis turi unikalų sprendimą

Taigi stacionarus centruotas Gauso procesas su dispersija yra Markovo tada ir tik tada, kai jo koreliacinė funkcija (5.4 pav.)

arba atitinkamas proceso galios spektrinis tankis (5.5 pav.)

Iš (5.74) ir atitinkamai iš (5.75) matyti, kad vienalytis Gauso Markovo procesas yra tęstinis vidutiniame kvadrate, tačiau 5.6 uždavinys taip pat nediferencijuojamas vidutiniame kvadrate.

Ryžiai. 5.4. Normalizuota homogeninio Gauso Markovo proceso koreliacinė funkcija

Ryžiai. 5.5. Homogeninio Gauso Markovo proceso galios spektrinis tankis

5.4.6. Gauso Markovo seka.

Tegul yra centruotų Gauso atsitiktinių dydžių seka su dispersijomis ir koreliacijos koeficientais. Kad ši seka būtų Markovo, to reikia ir pakanka

Stacionariai Gauso Markovo sekai iš (5.76) seka

kur yra dviejų gretimų sekos narių koreliacijos koeficientas.

Kiekviena Gauso Markovo sekos seka taip pat yra Gauso, Markovo seka.

5.4.7. Nepertraukiamo Markovo proceso perėjimo tikimybės tankio diferencialinė lygtis.

Kolmogorovo-Chapman integralinės lygties (5.62) sprendimas yra sudėtingas uždavinys. Markovo proceso perėjimo tikimybės tankio nustatymas gali būti sumažintas iki diferencialinės lygties, jei apsiribosime nuolatiniais procesais. Markovo procesas vadinamas tęstiniu, jei pastebimi judesiai galimi tik su maža tikimybe per trumpą laiką. Tiksliau, tai reiškia, kad nesvarbu

Nepertraukiamo Markovo proceso realizacijos su tikimybe yra tolydžios.

Iš (5.62) lygties, darydami prielaidą ir pakeitę kintamųjų pavadinimus, gauname

Be to, akivaizdu, kad

Iš paskutinių dviejų lygybių išplaukia

Tarkime, kad perėjimo tikimybės tankis gali būti išplėstas į Teiloro eilutę

Pakeitus (5.80) į (5.79), padalijus abi puses iš ir pereinant prie ribos gauname

5.4.8. Difuziniai procesai.

Jei funkcijos yra baigtinės, išskyrus nulį ir , tada nuolatinis Markovo procesas vadinamas difuzija. Iš (5.81) matyti, kad difuzijos proceso perėjimo tikimybės tankis tenkina dalinę diferencialinę lygtį

vadinama atvirkštine Kolmogorovo lygtimi.

Panašiai galima įrodyti, kad difuzijos proceso perėjimo tikimybės tankis tenkina ir tiesioginė lygtis Kolmogorovas:

dreifo koeficientas ir

Difuzijos koeficientas.

Tiesioginė Kolmogorovo lygtis (5.84) taip pat žinoma kaip Fokker-Plavkos lygtis. Lygtys (5.83) ir (5.84) priklauso parabolinių dalinių diferencialinių lygčių klasei. (5.83) kintamieji yra, o kintamieji y ir T įtraukti tik į sąlygą. (5.84) kintamieji yra y ir ir t įeina tik per pradinę sąlygą. Aptariami Kolmogorovo lygčių sprendimo būdai, pavyzdžiui, .

5.4.9. Stacionarios difuzijos procesai.

Stacionarių difuzijos procesų dreifo koeficientai (5,85) ir difuzija (5,86) nepriklauso nuo laiko parametro, o perėjimo tikimybės tankis priklauso tik nuo skirtumo . Tada iš (5.84) gauname

su pradine būkle

Jei ties perėjimo tikimybės tankio riba, kuri nepriklauso nuo pradinės būsenos, tai vadinama stacionaraus difuzinio proceso ribąja pasiskirstymo funkcija

Iš (5.88) išplaukia, kad . Todėl ribinio pasiskirstymo funkciją galima rasti iš pirmos eilės įprastos diferencialinės lygties

kurio sprendimas turi formą

konstantos nustatomos iš normalizavimo sąlygos ir ribinės sąlygos

5.4.10. Gauso difuzijos procesas.

Apsvarstykite Gauso stacionarų atsitiktinį procesą su nuliniu vidurkiu, dispersija ir normalizuotos koreliacijos funkcija. Šio atsitiktinio proceso sąlyginis pasiskirstymo tankis [žr (2.74)]

Nagrinėjamam sąlyginės tikimybės tankiui suraskime funkcijas, apibrėžtas pagal (5.82):

(5.92)

kur yra išvestinės vertės, kai ji artėja prie nulio iš dešinės. Jei nenutrūkstamas nuliui, tada manyti, kad jis kenčia pertrauką ties . Tada

Atsitiktinių įvykių atsiradimą labai patogu apibūdinti perėjimo iš vienos sistemos būsenos į kitą tikimybių forma, nes manoma, kad, perėjus į vieną iš būsenų, sistema nebeturėtų atsižvelgti į aplinkybės, kaip ji pateko į tokią būseną.

Atsitiktinis procesas vadinamas Markovo procesas(arba procesas be pasekmių), jei už kiekvieną laiko akimirką t bet kokios sistemos būsenos tikimybė ateityje priklauso tik nuo jos būsenos dabartyje ir nepriklauso nuo to, kaip sistema atėjo į šią būseną.

Taigi patogu Markovo procesą apibrėžti kaip perėjimų iš būsenos į būseną grafiką. Apsvarstysime du Markovo procesų aprašymo variantus su diskrečiu ir nenutrūkstamu laiku.

Pirmuoju atveju perėjimas iš vienos būsenos į kitą įvyksta anksčiau žinomais laiko momentais, laikrodžio ciklais (1, 2, 3, 4, ). Perėjimas vyksta kiekviename laikrodžio cikle, tai yra, tyrėją domina tik būsenų seka, kurią vyksta atsitiktinis procesas, ir nesidomi tiksliai, kada įvyko kiekvienas perėjimas.

Antruoju atveju tyrėją domina tiek viena kitą keičiančių būsenų grandinė, tiek laiko momentai, kuriais tokie perėjimai įvyko.

Ir toliau. Jei perėjimo tikimybė nepriklauso nuo laiko, tai Markovo grandinė vadinama vienalyte.

Diskretaus laiko Markovo procesas

Taigi Markovo proceso modelį pavaizduokime grafiko pavidalu, kuriame būsenos (viršūnės) yra tarpusavyje sujungtos ryšiais (perėjimais iš i- valstybėje j-toji būsena), žr. 33.1.

Kiekvienas perėjimas apibūdinamas perėjimo tikimybė P ij. Tikimybė P ij rodo, kaip dažnai po smūgio i- tada pereinama į būseną j– valstybė. Žinoma, tokie perėjimai įvyksta atsitiktinai, bet jei matuojate perėjimų dažnį per pakankamai ilgą laiką, paaiškėja, kad šis dažnis sutaps su nurodyta perėjimo tikimybe.

Aišku, kad kiekvienai būsenai visų perėjimų (išeinančių rodyklių) iš jos į kitas būsenas tikimybių suma visada turi būti lygi 1 (žr. 33.2 pav.).

Pavyzdžiui, visas grafikas gali atrodyti taip, kaip parodyta Fig. 33.3.

Markovo proceso įgyvendinimas (jo modeliavimo procesas) yra perėjimų iš būsenos į būseną sekos (grandinės) apskaičiavimas (žr. 33.4 pav.). Grandinė pav. 33.4 yra atsitiktinė seka ir gali turėti kitų įgyvendinimų.

Norėdami nustatyti, į kurią naują būseną procesas pereis iš dabartinės i-toji būsena, pakanka padalyti intervalą į dydžio subintervalus P i 1 , P i 2 , P i 3, ( P i 1 + P i 2 + P i 3 + = 1), žr. 33.5. Tada, naudodami RNG, turite gauti kitą atsitiktinį skaičių, vienodai paskirstytą intervale r pp ir nustatykite, į kurį intervalą jis patenka (žr. 23 paskaitą).

Po to pereinama į RNG nustatytą būseną, o aprašyta procedūra kartojama naujai būsenai. Modelio rezultatas yra Markovo grandinė (žr. 33.4 pav.). ) .

Pavyzdys. Patrankos šaudymo į taikinį modeliavimas. Siekdami imituoti patrankos šaudymą į taikinį, sukursime Markovo atsitiktinio proceso modelį.

Apibrėžkime šias tris būsenas: S 0 taikinys nepažeistas; S 1 taikinys pažeistas; S 2 taikinys sunaikintas. Nustatykime pradinių tikimybių vektorių:

Reikšmė P 0 kiekvienai būsenai rodo, kokia yra kiekvienos objekto būsenos tikimybė prieš pradedant fotografuoti.

Nustatykime būsenos perėjimo matricą (žr. 33.1 lentelę).

Matrica nurodo perėjimo iš kiekvienos būsenos į kiekvieną tikimybę. Atkreipkite dėmesį, kad tikimybės nurodomos taip, kad perėjimo iš tam tikros būsenos į likusią tikimybių suma visada būtų lygi vienetui (sistema būtinai turi kažkur eiti).

Markovo proceso modelis gali būti vizualiai pavaizduotas kaip sekantis grafikas (žr. 33.6 pav.).

Naudodami modelį ir statistinio modeliavimo metodą, bandysime išspręsti šią problemą: nustatyti vidutinį apvalkalų skaičių, reikalingą visiškai sunaikinti taikinį.

Modeliuokime fotografavimo procesą naudodami atsitiktinių skaičių lentelę. Tegul pradinė būsena būna S 0 . Paimkime seką iš atsitiktinių skaičių lentelės: 0,31, 0,53, 0,23, 0,42, 0,63, 0,21, (iš šios lentelės galima paimti, pavyzdžiui, atsitiktinius skaičius).

0.31 : taikinys yra būsenoje S 0 ir lieka būsenoje S 0 nuo 0< 0.31 < 0.45;
0.53 : taikinys yra būsenoje S 0 ir pereina į būseną S 1 nuo 0.45< 0.53 < 0.45 + 0.40;
0.23 : taikinys yra būsenoje S 1 ir lieka valstybėje S 1 nuo 0< 0.23 < 0.45;
0.42 : taikinys yra būsenoje S 1 ir lieka valstybėje S 1 nuo 0< 0.42 < 0.45;
0.63 : taikinys yra būsenoje S 1 ir pereina į būseną S 2 nuo 0.45< 0.63 < 0.45 + 0.55.

Kadangi buvo pasiekta valstybė S 2 (tada taikinys juda iš S 2 valstybėje S 2 su tikimybe 1), tada pataikyta į taikinį. Norint tai padaryti šiame eksperimente, reikėjo 5 apvalkalų.

Fig. 33.7 pav. parodyta laiko diagrama, kuri gaunama aprašyto modeliavimo proceso metu. Diagramoje parodyta, kaip laikui bėgant vyksta būsenų kaitos procesas. Šiuo atveju modeliavimo ciklas turi fiksuotą vertę. Mums svarbus perėjimo faktas (į kokią būseną sistema patenka) ir nesvarbu, kada tai įvyksta.

Taikinio sunaikinimo procedūra baigiama 5 laikrodžio ciklais, tai yra, šio įgyvendinimo Markovo grandinė atrodo taip: S 0 — S 0 — S 1 S 1 S 1 S 2 . Žinoma, šis skaičius negali būti atsakymas į problemą, nes skirtingi diegimai duos skirtingus atsakymus. O atsakymas į problemą gali būti tik vienas.

Kartodami šį modeliavimą, galite gauti, pavyzdžiui, tokias realizacijas (tai priklauso nuo to, kokie konkretūs atsitiktiniai skaičiai atsiranda): 4 ( S 0 — S 0 — S 1 S 1 S 2 ); 11 (S 0 — S 0 — S 0 — S 0 — S 0 — S 1 S 1 S 1 S 1 S 1 S 1 S 2 ); 5 (S 1 S 1 S 1 S 1 S 1 S 2 ); 6 (S 0 — S 0 — S 1 S 1 S 1 S 1 S 2 ); 4 (S 1 S 1 S 1 S 1 S 2 ); 6 (S 0 — S 0 — S 1 S 1 S 1 S 1 S 2 ); 5 (S 0 — S 0 — S 1 S 1 S 1 S 2 ). Iš viso buvo sunaikinti 8 taikiniai. Vidutinis šaudymo ciklų skaičius buvo: (5 + 4 + 11 + 5 + 6 + 4 + 6 + 5)/8 = 5,75 arba, suapvalinant, 6. Tai yra vidutinis sviedinių skaičius, kurį rekomenduojama kovos rezerve turi ginklą, kad būtų galima sunaikinti taikinius su tokia pataikymo tikimybe.

Dabar turime nustatyti tikslumą. Būtent tikslumas gali parodyti mums, kiek turėtume pasitikėti duotu atsakymu. Norėdami tai padaryti, atsekime, kaip atsitiktinių (apytikslių) atsakymų seka susilieja su teisingu (tiksliu) rezultatu. Prisiminkime, kad pagal centrinės ribos teoremą (žr. 25 paskaitą, 21 paskaitą) atsitiktinių dydžių suma yra neatsitiktinis dydis, todėl norint gauti statistiškai patikimą atsakymą, reikia stebėti vidutinį sviediniai, gauti taikant daugybę atsitiktinių įgyvendinimų.

Pirmajame skaičiavimo etape vidutinis atsakymas buvo 5 apvalkalai, antrajame etape atsakymo vidurkis buvo (5 + 4)/2 = 4,5 apvalkalo, trečiame (5 + 4 + 11)/3 = 6,7. Be to, vidutinių verčių serija, kaupiant statistiką, atrodo taip: 6,3, 6,2, 5,8, 5,9, 5,8. Jei šią seriją pavaizduotume kaip vidutinio iššautų sviedinių dydžio, reikalingo pataikyti į taikinį, grafiką, priklausomai nuo eksperimento skaičiaus, pamatysime, kad ši serija suartėja į tam tikrą reikšmę, kuri yra atsakymas (žr. 33.8 pav. ).

Vizualiai galime pastebėti, kad grafikas „nusiramina“ laikui bėgant mažėja, linkęs statistiškai tikslaus rezultato. Tai yra, tam tikru momentu grafikas patenka į tam tikrą „vamzdelį“, kurio dydis lemia atsakymo tikslumą.

Modeliavimo algoritmas turės tokią formą (žr. 33.9 pav.).

Dar kartą atkreipkime dėmesį, kad aukščiau aptartu atveju mums nesvarbu, kuriuo momentu įvyks perėjimas. Perėjimai eina ritmas po ritmo. Jei svarbu nurodyti, kuriuo momentu įvyks perėjimas ir kiek laiko sistema išliks kiekvienoje būsenoje, būtina taikyti nuolatinio laiko modelį.

Nepertraukiamo laiko Markovo atsitiktiniai procesai

Taigi, Markovo proceso modelį vėl pateikiame grafiko pavidalu, kuriame būsenos (viršūnės) yra tarpusavyje sujungtos ryšiais (perėjimais iš i- valstybėje j-toji būsena), žr. 33.10.

Dabar kiekvienas perėjimas apibūdinamas perėjimo tikimybės tankiu λ ij. A prioritetas:

Šiuo atveju tankis suprantamas kaip tikimybės pasiskirstymas laikui bėgant.

Perėjimas iš i- valstybėje j-e įvyksta atsitiktiniu laiku, kurį lemia perėjimo intensyvumas λ ij .

Į perėjimų intensyvumą (čia ši sąvoka savo prasme sutampa su tikimybės tankio pasiskirstymu laikui bėgant t) praeina, kai procesas yra nepertraukiamas, ty paskirstytas laikui bėgant.

Jau išmokome dirbti su srauto intensyvumu (o perėjimai yra įvykių srautas) 28 paskaitoje. Žinant intensyvumą λ ij Atsižvelgdami į gijos sugeneruotus įvykius, galite imituoti atsitiktinį intervalą tarp dviejų šios gijos įvykių.

Kur τ ij laiko intervalas tarp įjungimo sistemoje i- ohm ir j– būsena.

Be to, aišku, sistema iš bet kurios i-valstybė gali pereiti į vieną iš kelių būsenų j , j + 1 , j+ 2, , su juo susiję perėjimai λ ij , λ ij + 1 , λ ij+ 2, .

IN j- būsena, kurią ji praeis τ ij; V ( j+ 1 )-oji būsena ji praeis τ ij+ 1; V ( j+ 2 )-oji būsena ji praeis τ ij+ 2 ir kt.

Akivaizdu, kad sistema gali eiti iš i-tą būseną tik į vieną iš šių būsenų ir į tą, į kurią perėjimas įvyksta anksčiau.

Todėl iš kartų sekos: τ ij , τ ij + 1 , τ ij+ 2 ir tt reikia pasirinkti minimumą ir nustatyti indeksą j, nurodant, į kurią būseną įvyks perėjimas.

Pavyzdys. Mašinos veikimo modeliavimas. Imituojame mašinos veikimą (žr. 33.10 pav.), kuris gali būti šių būsenų: S 0 mašina veikia, laisva (prastova); S 1 mašina veikia, užimta (apdorojama); S 2 mašina veikia, įrankių keitimas (perreguliavimas) λ 02 < λ 21 ; S 3 mašina sugedusi, taisoma λ 13 < λ 30 .

Nustatykime parametrų reikšmes λ , naudojant eksperimentinius duomenis, gautus gamybos sąlygomis: λ 01 srautas apdorojimui (be keitimo); λ 10 paslaugų srautas; λ 13 įrangos gedimų srautas; λ 30 atkūrimo srautas.

Diegimas atrodys taip (žr. 33.11 pav.).

Visų pirma iš fig. 33.11 aišku, kad įdiegta grandinė atrodo taip: S 0 — S 1 S 0 —… Perėjimai įvyko šiais laiko momentais: T 0 — T 1 T 2 T 3…, Kur T 0 = 0 , T 1 = τ 01, T 2 = τ 01 + τ 10.

Užduotis. Kadangi modelis sukonstruotas taip, kad juo būtų galima išspręsti problemą, kurios atsakymas mums anksčiau nebuvo visiškai aiškus (žr. 01 paskaitą), tai tokiam pavyzdžiui suformuluosime tokią problemą. Nustatykite, kiek laiko per dieną mašina neveikia (apskaičiuokite pagal paveikslą) T av = ( T + T + T + T)/N .

Modeliavimo algoritmas turės tokią formą (žr. 33.12 pav.).

Labai dažnai Markovo procesų aparatas naudojamas modeliuojant kompiuterinius žaidimus ir kompiuterinių veikėjų veiksmus.

Eilių sistemai būdingas atsitiktinis procesas. Atsitiktinio sistemoje vykstančio proceso ir jo matematinės išraiškos tyrimas yra eilių teorijos objektas.

Eilių sistemos veikimo matematinė analizė labai palengvinama, jei šios operacijos atsitiktinis procesas Markovskis. Sistemoje vykstantis procesas vadinamas Markoviu, jei bet kuriuo laiko momentu bet kurios sistemos būsenos tikimybė ateityje priklauso tik nuo sistemos būsenos esamu momentu ir nepriklauso nuo to, kaip sistema atėjo į šią būseną. . Tiriant ekonominės sistemos Plačiausiai naudojami Markovo atsitiktiniai procesai su diskrečiomis ir nuolatinėmis būsenomis.

Atsitiktinis procesas vadinamas procesas su atskiromis būsenomis, jei visas galimas jo būsenas galima išvardinti iš anksto, o pats procesas susideda iš to, kad kartas nuo karto sistema peršoka iš vienos būsenos į kitą.

Atsitiktinis procesas vadinamas procesas su nuolatine būsena, jei jam būdingas sklandus, laipsniškas perėjimas iš būsenos į būseną.

Taip pat galime atskirti Markovo procesus su diskretus Ir nuolatinis laikas. Pirmuoju atveju sistemos perėjimai iš vienos būsenos į kitą galimi tik griežtai apibrėžtais, iš anksto nustatytais laiko momentais. Antruoju atveju sistemos perėjimas iš būsenos į būseną galimas bet kuriuo anksčiau nežinomu, atsitiktiniu momentu. Jei perėjimo tikimybė nepriklauso nuo laiko, vadinasi Markovo procesas vienalytis.

Tiriant eilių sistemas, didelę reikšmę turi atsitiktiniai Markovo procesai su diskrečiomis būsenomis ir nuolatiniu laiku.

Markovo procesų tyrimas nusileidžia iki perėjimo tikimybių matricų (). Kiekvienas tokios matricos elementas (įvykių srautas) reiškia perėjimo iš tam tikros būsenos (atitinkančios eilutę) į kitą būseną (atitinkančią stulpelį) tikimybę. Ši matrica pateikia visus galimus tam tikro būsenų rinkinio perėjimus. Vadinasi, procesai, kuriuos galima aprašyti ir modeliuoti naudojant perėjimo tikimybių matricas, turi turėti tam tikros būsenos tikimybės priklausomybę nuo prieš tai buvusios būsenos. Taip išsirikiuoja Markovo grandinė. Šiuo atveju pirmos eilės Markovo grandinė yra procesas, kurio kiekviena konkreti būsena priklauso tik nuo jos ankstesnės būsenos. Antrosios ir aukštesnės eilės Markovo grandinė yra procesas, kurio metu dabartinė būsena priklauso nuo dviejų ar daugiau ankstesnių.

Žemiau pateikiami du perėjimo tikimybių matricų pavyzdžiai.

Perėjimo tikimybių matricas galima pavaizduoti perėjimo būsenų grafikais, kaip parodyta paveikslėlyje.

Pavyzdys

Įmonė gamina produktą, kuris prisotino rinką. Jei pardavusi prekę įmonė einamąjį mėnesį gauna pelno (P), tai su 0,7 tikimybe kitą mėnesį ji gaus pelno, o su 0,3 tikimybe – nuostolių. Jei einamąjį mėnesį įmonė gauna nuostolių (L), tai su 0,4 tikimybe kitą mėnesį ji gaus pelną, o su 0,6 tikimybe - nuostolį (tikimybės įverčiai gauti atlikus apklausą). ekspertų). Apskaičiuokite tikimybę gauti pelną pardavus prekes po dviejų mėnesių įmonės veiklos.

Matricos pavidalu ši informacija būtų išreikšta taip (atitinka 1 matricos pavyzdį):

Pirma iteracija – dviejų pakopų perėjimų matricos konstravimas.

Jei įmonė einamąjį mėnesį uždirba pelno, tada tikimybė, kad kitą mėnesį vėl gaus pelną, yra lygi

Jeigu įmonė einamąjį mėnesį uždirba pelno, tai tikimybė, kad kitą mėnesį patirs nuostolių, lygi

Jei įmonė einamąjį mėnesį patiria nuostolių, tai tikimybė, kad kitą mėnesį dirbs pelno, yra lygi

Jei įmonė einamąjį mėnesį patiria nuostolių, tada tikimybė, kad kitą mėnesį vėl patirs nuostolių, yra lygi

Skaičiuodami gauname dviejų pakopų perėjimų matricą:

Rezultatas gaunamas matricą m padauginus iš matricos su tokiomis pačiomis tikimybės reikšmėmis:

Norėdami atlikti šias procedūras programoje „Excel“, turite atlikti šiuos veiksmus:

• 1) sudaryti matricą;
• 2) iškviesti funkciją MULTIPLE;
• 3) nurodykite pirmąjį masyvą – matricą;
• 4) nurodykite antrąjį masyvą (tą pačią ar kitą matricą);
• 5) gerai;
• 6) pasirinkite naujos matricos zoną;
• 7) F2;
• 8) Ctrl+Shift+Enter;
• 9) gauti naują matricą.

Antra iteracija – trijų pakopų perėjimų matricos konstravimas. Panašiai apskaičiuojamos tikimybės gauti pelną arba nuostolį kitame žingsnyje ir apskaičiuojama trijų pakopų perėjimų matrica, kurios forma yra tokia:

Taigi per artimiausius du įmonės veiklos mėnesius tikimybė gauti pelno iš prekės išleidimo yra didesnė nei tikimybė gauti nuostolių. Tačiau reikia pastebėti, kad tikimybė gauti pelną mažėja, todėl įmonei reikia sukurti naują produktą, kuris pakeistų gaminamą prekę.

Eilių teorija yra viena iš tikimybių teorijos šakų. Ši teorija mano tikimybinis problemas ir matematinius modelius (prieš tai nagrinėjome deterministinius matematinius modelius). Priminsime, kad:

Deterministinis matematinis modelis atspindi objekto (sistemos, proceso) elgesį iš perspektyvos visiškas tikrumas dabartyje ir ateityje.

Tikimybinis matematinis modelis atsižvelgia į atsitiktinių veiksnių įtaką objekto (sistemos, proceso) elgesiui, todėl ateitį vertina tam tikrų įvykių tikimybės požiūriu.

Tie. čia, kaip, pavyzdžiui, žaidimų teorijoje, nagrinėjamos problemos sąlygomisneapibrėžtumas.

Pirmiausia panagrinėkime kai kurias sąvokas, apibūdinančias „stochastinį neapibrėžtumą“, kai į problemą įtraukti neapibrėžti veiksniai yra atsitiktiniai dydžiai (arba atsitiktinės funkcijos), kurių tikimybinės charakteristikos yra žinomos arba gali būti gautos iš patirties. Toks neapibrėžtumas dar vadinamas „palankiu“, „gerybiniu“.

Atsitiktinio proceso samprata

Griežtai tariant, atsitiktiniai sutrikimai yra būdingi bet kokiam procesui. Lengviau pateikti atsitiktinio proceso pavyzdžius nei „neatsitiktinio“ proceso pavyzdžius. Netgi, pavyzdžiui, laikrodžio paleidimo procesas (atrodo, kad tai griežtai kalibruotas darbas - „veikia kaip laikrodis“) yra atsitiktinai keičiamas (judėjimas į priekį, atsilikimas, sustojimas). Tačiau kol šie trikdžiai yra nereikšmingi ir mažai veikia mus dominančius parametrus, galime jų nepaisyti ir laikyti procesą deterministiniu, neatsitiktiniu.

Tegul būna kažkokia sistema S(techninis įrenginys, tokių įrenginių grupė, technologinė sistema – mašina, aikštelė, dirbtuvės, įmonė, pramonė ir kt.). Sistemoje S nutekėjimai atsitiktinis procesas, jei laikui bėgant keičia savo būseną (pereina iš vienos būsenos į kitą), be to, anksčiau nežinomu atsitiktiniu būdu.

Pavyzdžiai: 1. Sistema S– technologinė sistema (mašinų sekcija). Mašinos karts nuo karto genda ir yra remontuojamos. Šioje sistemoje vykstantis procesas yra atsitiktinis.

2. Sistema S- orlaivis, skrendantis tam tikrame aukštyje tam tikru maršrutu. Trukdantys veiksniai – oro sąlygos, įgulos klaidos ir pan., pasekmės – nelygumai, skrydžių grafiko pažeidimas ir kt.

Markovo atsitiktinis procesas

Atsitiktinis sistemoje vykstantis procesas vadinamas Markovskis, jei kuriam laikui t 0 tikimybinės proceso charakteristikos ateityje priklauso tik nuo jo būsenos šiuo metu t 0 ir nepriklauso nuo to, kada ir kaip sistema pasiekė šią būseną.

Tegul sistema yra tam tikroje būsenoje momentu t 0 S 0 . Žinome dabartinės sistemos būsenos ypatybes, viską, kas nutiko kada t<t 0 (proceso istorija). Ar galime nuspėti (numatyti) ateitį, t.y. kas bus kada t>t 0 ? Ne tiksliai, bet ateityje galima rasti tam tikrų tikimybinių proceso charakteristikų. Pavyzdžiui, tikimybė, kad po kurio laiko sistema S galės S 1 arba liks valstybėje S 0 ir kt.

Pavyzdys. Sistema S- oro kovose dalyvaujančių orlaivių grupė. Leisti x– „raudonųjų“ lėktuvų skaičius, y– „mėlynųjų“ orlaivių skaičius. Iki to laiko t atitinkamai 0 išlikusių (nenumuštų) orlaivių skaičius – x 0 ,y 0 . Mus domina tikimybė, kad šiuo metu skaitinis pranašumas bus „raudonųjų“ pusėje. Ši tikimybė priklauso nuo to, kokia sistema tuo metu buvo t 0, o ne apie tai, kada ir kokia seka numuštieji mirė iki šiol t 0 lėktuvų.

Praktikoje su Markovo procesais gryna forma paprastai nesusiduriama. Tačiau yra procesų, kuriems „priešistorės“ įtakos galima nepaisyti. O tiriant tokius procesus galima panaudoti Markovo modelius (eilių teorija nenagrinėja Markovo eilių sistemų, tačiau jas aprašantis matematinis aparatas yra daug sudėtingesnis).

Operacijų tyrimuose didelę reikšmę turi Markovo atsitiktiniai procesai su diskrečiomis būsenomis ir nuolatiniu laiku.

Procesas vadinamas diskrečios būsenos procesas, jei jos galimos būsenos S 1 ,S 2, ... galima nustatyti iš anksto, o sistemos perėjimas iš būsenos į būseną įvyksta „šuoliu“, beveik akimirksniu.

Procesas vadinamas nuolatinis laiko procesas, jei galimų perėjimų iš būsenos į būseną momentai nėra iš anksto fiksuoti, o yra neapibrėžti, atsitiktiniai ir gali atsirasti bet kuriuo momentu.

Pavyzdys. Technologinė sistema (skyrius) S susideda iš dviejų mašinų, kurių kiekviena gali sugesti (sugesti) atsitiktiniu laiko momentu, po to nedelsiant prasideda agregato remontas, kuris taip pat tęsiasi nežinomą, atsitiktinį laiką. Galimos šios sistemos būsenos:

S 0 - abi mašinos veikia;

S 1 - pirma mašina remontuojama, antra veikia;

S 2 - antra mašina remontuojama, pirmoji veikia;

S 3 - abi mašinos remontuojamos.

Sistemos perėjimai S iš būsenos į būseną įvyksta beveik akimirksniu, atsitiktiniais momentais, kai sugenda konkreti mašina arba baigiamas remontas.

Analizuojant atsitiktinius procesus su diskrečiomis būsenomis, patogu naudoti geometrinę schemą - būsenos grafikas. Grafo viršūnės yra sistemos būsenos. Grafiko lankai – galimi perėjimai iš būsenos į

1 pav. Sistemos būsenos grafikas

valstybė. Mūsų pavyzdyje būsenos grafikas parodytas 1 pav.

Pastaba. Perėjimas iš valstybės S 0 colių S 3 paveiksle nenurodytas, nes daroma prielaida, kad mašinos sugenda nepriklausomai viena nuo kitos. Mes neatsižvelgiame į galimybę vienu metu sugesti abi mašinos.