Tiesi linija, apibrėžta dviejų plokštumų susikirtimu. Bendrosios tiesės, kaip dviejų plokštumų susikirtimo linijos, lygtys Raskite dviejų plokštumų susikirtimo tiesės lygtį tinkle

Per kiekvieną tiesią erdvę erdvėje yra daugybė plokštumų. Bet kurios dvi iš jų, susikertančios, apibrėžia ją erdvėje. Vadinasi, bet kurių dviejų tokių plokštumų lygtys, nagrinėtos kartu, atspindi šios linijos lygtis.

Apskritai, bet kurios dvi nelygiagrečios plokštumos, pateiktos pagal bendrąsias lygtis

nustatyti tiesią jų susikirtimo liniją. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesiai

6 bilietas Užrašykite kampo tarp tiesės ir plokštumos išraišką, tiesės ir plokštumos lygiagretumo ir statmenumo sąlygą.

Kampas tarp tiesės ir plokštumos vadinsime kampą, kurį sudaro tiesė ir jos projekcija į plokštumą. Tegul plokštumos tiesės pateikiamos lygtimis

Panagrinėkime vektorius ir . Jei kampas tarp jų yra smailus, tada jis bus , kur φ yra kampas tarp tiesės ir plokštumos. Tada .

Jei kampas tarp vektorių ir yra bukas, tada jis lygus . Vadinasi . Todėl bet kuriuo atveju. Prisimindami kampo tarp vektorių kosinuso apskaičiavimo formulę, gauname .

Tiesės ir plokštumos statmenumo sąlyga. Tiesė ir plokštuma yra statmenos tada ir tik tada, kai tiesės krypties vektorius ir plokštumos normalusis vektorius yra kolinijiniai, t.y. .

Lygiagretumo tarp tiesės ir plokštumos sąlyga. Tiesė ir plokštuma yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai vektoriai ir yra statmeni.

7 bilietas. Apibrėžkite elipsę. Parašykite elipsės lygtį kanonine forma. Elipsės viršūnės, židiniai, ašys ir ekscentriškumas.

Apibrėžimas: Elipsė yra geometrinis taškų lokusas plokštumoje, kurių atstumų iki dviejų nurodytų tos pačios plokštumos taškų, vadinamų elipsės židiniais, suma yra pastovi reikšmė.

Leisti F 1 ir F 2 – elipsės židiniai. Pradėti O koordinačių sistemos bus išdėstytos atkarpos viduryje F 1 F 2. Ašis Jautis nukreipkime ašį išilgai šios atkarpos Oy– statmenai šiai atkarpai (pav.).

Apibrėžimas: Elipsės ir jos simetrijos ašių susikirtimo taškai vadinami viršūnių elipsė a, simetrijos centras – elipsės centras, vadinamas atkarpa tarp dviejų viršūnių, kuriose yra židinių didžioji elipsės ašis, pusė ilgio – pusiau didžioji elipsės ašis. Atkarpa tarp viršūnių simetrijos ašyje, kurioje nėra židinių, vadinamas Mažoji elipsės ašis, pusė jo ilgio yra pusiau mažoji ašis. Kiekis vadinamas elipsės ekscentriškumas.

Jei elipsė pateikiama kanoninėmis lygtimis, tai jos viršūnės turi koordinates (– a;0), (a;0),(0; –b), (0;b), pusiau didžioji ašis yra a, pusiau mažoji ašis lygi b. Didumas c, kuris yra pusė atstumo tarp židinių, nustatomas pagal formulę c 2 = a 2 – b 2 .

Elipsės ekscentriškumas apibūdina elipsės pailgėjimo laipsnį. Kuo ekscentriškumas arčiau nulio, tuo elipsė labiau primena apskritimą. Kuo ekscentricitetas arčiau 1, tuo pailgesnė elipsė. Atkreipkite dėmesį, kad pagal apibrėžimą elipsei 0< <1.

Lygtis vadinama kanoninė elipsės lygtis.

8 bilietas Apibrėžkite hiperbolę. Parašykite hiperbolės lygtį kanonine forma. Hiperbolės viršūnės, židiniai, ašys, asimptotės ir ekscentricumai,

Apibrėžimas: Hiperbolė yra taškų lokusas plokštumoje, kurių kiekvieno atstumų skirtumo iki dviejų fiksuotų tos pačios plokštumos taškų, vadinamų hiperbolės židiniais, absoliuti reikšmė yra pastovi reikšmė.

Kaip ir elipsės atveju, norėdami gauti hiperbolės lygtį, pasirenkame tinkamą koordinačių sistemą. Koordinačių pradžia yra segmento tarp židinių viduryje, ašies Jautis Nukreipkime jį išilgai šios atkarpos, o ordinačių ašis yra statmena jam.

Lygtis vadinama kanoninė lygtis hiperbolė.

Hiperbolė turi dvi viena kitai statmenas simetrijos ašis, iš kurių vienoje yra hiperbolės židinys ir simetrijos centras. Jei hiperbolė pateikiama kanonine lygtimi, tai jos simetrijos ašys yra koordinačių ašys Jautis Ir Oy, o pradžia yra hiperbolės simetrijos centras.

Apibrėžimas: Hiperbolės, apibrėžtos kanonine lygtimi, susikirtimo taškai su ašimi Jautis yra vadinami hiperbolės viršūnės, atkarpa tarp jų vadinama tikroji hiperbolės ašis. Ordinačių ašies atkarpa tarp taškų (0;– b) ir (0; b) vadinama įsivaizduojama ašimi. Skaičiai a Ir b vadinamos atitinkamai realiąja ir įsivaizduojama hiperbolės pusašimis. Koordinačių pradžia vadinama jos centru. Kiekis vadinamas ekscentriškumas hiperbolė.

komentaras: Iš lygybės b 2 = c 2 – a 2 iš to išplaukia c>a, tai yra, hiperbolė turi >1. Ekscentriškumas apibūdina kampą tarp asimptotų; kuo arčiau 1, tuo šis kampas mažesnis.

9 bilietas. Apibrėžkite parabolę. Parašykite parabolės lygtį kanonine forma. Direktorė, parabolės židinys

Parabolė yra plokštumos taškų, kurie yra vienodai nutolę nuo nurodyto taško F ir tiesės d, kuri nekerta tam tikro taško, vieta. Šis geometrinis apibrėžimas išreiškia režisūrinė parabolės nuosavybė.

Parabolės kryptinė savybė F taškas vadinamas parabolės židiniu, linija d yra parabolės kryptis, statmeno, nuleisto nuo židinio į kryptį, vidurio taškas O yra parabolės viršūnė, atstumas p nuo fokusas į kryptį yra parabolės parametras, o atstumas p2 nuo parabolės viršūnės iki jos židinio yra židinio nuotolis (a pav.). Tiesi linija, statmena krypčiai ir einanti per židinį, vadinama parabolės ašimi (parabolės židinio ašimi). Atkarpa FM, jungianti savavališką parabolės tašką M su židiniu, vadinama taško M židinio spinduliu. Atkarpa, jungianti du parabolės taškus, vadinama parabolės styga.

Savavališkam parabolės taškui atstumo iki židinio ir atstumo iki krypties santykis yra lygus vienetui. Palyginę elipsės, hiperbolės ir parabolės krypties savybes, darome išvadą parabolės ekscentriškumas pagal apibrėžimą lygus vienetui

.Geometrinis parabolės apibrėžimas , išreiškiantis jo direktorijos savybę, yra lygiavertis jo analitiniam apibrėžimui – tiesei, apibrėžtai kanonine parabolės lygtimi:

10 bilietas. Kas yra kvadratinė, vienetinė, simetrinė, ortogonalioji matrica. Apibrėžkite transponuotą ir atvirkštinę matricą.

1 apibrėžimas.Matrica yra stačiakampė skaičių lentelė, kurią sudaro - eilutės ir - stulpeliai. .

2 apibrėžimas. Mane vadina numeriai Matriciniai užsakymai(arba sakoma, kad matrica turi dydį)

3 apibrėžimas.Į šią matricą įtraukti skaičiai vadinami jos elementai.

1. Apibrėžimas 4. Matrica vadinama Kvadratas jei eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui. Kvadratinės matricos atveju pateikiamos sąvokos Pagrindinė įstrižainė(tai skaičiai - ) ir Šoninė įstrižainė(tai skaičiai -).

2.Simetriškas(Simetrinė) yra kvadratinė matrica, kurios elementai yra simetriški pagrindinės įstrižainės atžvilgiu. Formaliau matrica vadinama simetriška, kad .

Tai reiškia, kad ji yra lygi jos perkeltai matricai:

3. Vienetų matrica vadinama įstrižainės matrica, kurioje visi įstrižainės elementai yra lygūs vienetui. Pavyzdžiui, trečiosios eilės tapatybės matrica yra matrica

Stačiakampė matrica

Kvadratinė matrica A, kuriam A -1 = A T paskambino ortogonalioji matrica. Pagrindinės ortogonaliosios matricos savybės: Stačiakampės matricos determinanto modulis yra lygus vienetui. Ši savybė išplaukia iš determinantų savybių:

Bet kurios stačiakampės matricos stulpelio elementų kvadratų suma yra lygi vienetui.

Eilutės su savimi taškinė sandauga yra 1, o su bet kuria kita eilute yra 0. Tas pats pasakytina ir apie stulpelius.

Bet kurios stačiakampės matricos eilutės elementų sandaugų suma iš atitinkamų kitos eilutės elementų yra lygi nuliui.

Atvirkštinė matrica yra matrica, kurią dešinėje ir kairėje padauginus iš nurodytos matricos, gaunama tapatumo matrica. Pažymime matricos atvirkštinę vertę A per , tada pagal apibrėžimą gauname: Kur E- tapatybės matrica.

Atvirkštinė matrica neegzistuoja visoms matricoms. Būtina ir pakankama neišsigimimo sąlyga yra

det( A) ≠ 0 arba rangas ( A) = N.

Atvirkštinių matricų savybės

· , kur žymi determinantą.

· bet kurioms dviem apverčiamoms matricoms ir .

· , kur žymi perkeltą matricą.

· bet kokiam koeficientui.

· Jei reikia išspręsti tiesinių lygčių sistemą , (b yra nulinis vektorius), kur yra norimas vektorius, o jei yra, tada . Priešingu atveju arba sprendinių erdvės matmuo yra didesnis už nulį, arba sprendinių visai nėra.

Transponuota matrica- matrica, gauta iš pradinės matricos, eilutes pakeitus stulpeliais.

Formaliai perkelta matricos dydžio matrica yra dydžio matrica, apibrėžta kaip .

11 bilietas. Kas yra ekvivalentinės matricos? Išvardykite elementariąsias matricų transformacijas. Ką galime pasakyti apie lygiaverčių matricų eiles?

Apibrėžimas. Elementariosios transformacijos rezultate gautos matricos vadinamos lygiavertis.

Elementariosios transformacijos per matricų eilutesŠios eilutės konversijos vadinamos:

1. eilutės dauginimas iš ne nulio skaičiaus;

2. dviejų linijų pertvarkymas;

3. prie vienos matricos eilutės pridėjus kitą jos eilutę, padaugintą iš kokio nors ne nulio skaičiaus.

4. Jei pereinama iš matricos į matricą naudojant lygiavertes transformacijas per eilutes, tada tokios matricos vadinamos lygiavertis ir pažymėti .

5. Elementariosios transformacijos metodas

6. Matricos rangas yra lygus nulinių eilučių skaičiui matricoje, sumažinus ją į ešeloninę formą, naudojant elementariąsias transformacijas per matricos eilutes.

12 bilietas, Kas yra pagrindinis nepilnametis. Nurodykite pagrindinę minorinę teoremą.

Apibrėžimas. Matricos A rangas yra didžiausia nulinės mažosios eilės tvarka (mažoji yra kvadratinės matricos determinantas). Žymima .

Apibrėžimas. Mažoji, kuri lemia matricos rangą, vadinama Basis minor. Eilutės ir stulpeliai, sudarantys BM, vadinami pagrindinėmis eilutėmis ir stulpeliais.

Apibrėžimas. Stulpelių sistema vadinami tiesiškai priklausomais skaičiais, kurie ne visi lygūs nuliui ir tokie, kad:

Pagrindinė mažoji teorema

Matricos stulpeliai, įtraukti į pagrindinį minorą, sudaro tiesiškai nepriklausomą sistemą. Bet kuris matricos stulpelis tiesiškai išreiškiamas per likusius pagrindinio mažojo stulpelius.

Dydžio matricoje th-osios eilės mažoji vadinama pagrindu, jei ji yra ne nulis, o visos -ro eilės mažosios yra nulis arba jų visai nėra.

Pasekmė. Jei visi matricos stulpeliai yra tiesiškai išreikšti stulpeliais, kurie sudaro tiesiškai nepriklausomą sistemą, tada matricos rangas yra.

13 bilietas Kas yra vienalytė ir nehomogeniška lygčių sistema. Tai, kas vadinama lygčių sistemos sprendimu. Paaiškinkite terminus: suderinama lygčių sistema, nenuosekli lygčių sistema. Kokios lygčių sistemos vadinamos ekvivalentiškomis?

1 apibrėžimas. Jei visi laisvieji nariai lygūs nuliui, tada sistema vadinama vienalyte, o kitaip nehomogeniška.

2 apibrėžimas. Sistemos sprendimas yra rinkinys n numeriai Su 1 , Su 2 , …, Su n , kurį pakeitus į sistemą vietoj nežinomųjų, atsiras m skaitinės tapatybės.

3 apibrėžimas. Sistema vadinama suderinama (nesuderinama), jei ji turi bent vieną sprendimą (sprendimų neturi).

4 apibrėžimas. Nuosekli linijinių algebrinių lygčių sistema vadinama apibrėžtąja (neapibrėžta), jei ji turi unikalų sprendimą (sprendinių aibę).

Apibrėžimas.

Vadinamos dvi tiesinių lygčių sistemos lygiavertis (lygiavertis), jei jie turi tuos pačius sprendimus.

Lygiavertės sistemos visų pirma gaunamos elementariomis sistemos transformacijomis su sąlyga, kad transformacijos atliekamos tik sistemos eilutėse.

14 bilietas Kas yra pamatinė vienalytės lygčių sistemos sprendinių sistema. Tai, kas vadinama bendruoju vienalytės lygčių sistemos sprendimu.

Apibrėžimas. Tiesinių vienarūšių lygčių sistemos sprendinių erdvės pagrindas vadinamas jos pamatinė sprendimų sistema.

Teorema apie homogeninės lygčių sistemos bendrojo sprendinio struktūrą:

Bet koks homogeninės tiesinių lygčių sistemos sprendimas nustatomas pagal formulę

Kur X 1 , X 2 , … , Xn − r- pamatinė vienalytės tiesinių lygčių sistemos sprendinių sistema ir C 1 , C 2 , … , Cn − r- savavališkos konstantos.

Vienarūšės lygčių sistemos bendrojo sprendimo savybės:

1. Bet kokioms vertybėms C 1 , C 2 , … , Cn − r X, apibrėžtas (3) formule, yra sistemos (1) sprendimas.

2. Kad ir koks būtų sprendimas X 0, yra skaičiai C 1 0 , … , Cn − r 0 toks

Išvada: Norėdami rasti pagrindinę sistemą ir bendrą homogeninės sistemos sprendimą, turite rasti atitinkamo tiesinio operatoriaus branduolio pagrindą.

Bilietas 16. Apibrėžkite tiesinę erdvę ir suformuluokite jos savybes.

Krūva L paskambino linijinis arba vektorinė erdvė , jei visiems šios aibės elementams (vektoriams) yra apibrėžtos sudėties ir daugybos iš skaičiaus operacijos ir yra teisinga:

1. Kiekviena elementų pora x Ir y iš L atsako elementas x + y iš L , paskambino sumax Ir y ir:

x + y = y+x− sudėjimas yra komutacinis;

x + (y + z) = (x + y) + z− papildymas yra asociatyvus;

x +0 = x− yra tik vienas nulinis elementas 0 (x +0 = x bet kam x iš L );

x + (− x)= 0 − kiekvienam elementui x iš L yra tik vienas priešingas elementas −x (x + (−x) = 0 bet kam x iš L) .

2. Kiekviena pora x ir α, kur α − numerį ir x elementas iš L , atitinka elementą α x, paskambino dirbtiα Irx ir:

α·(β · x) = (α·β) · x− daugyba iš skaičiaus yra asociatyvi: ;

1· x = x− bet kuriam elementui x iš L .

3. Sudėjimo ir daugybos iš skaičiaus operacijos yra susijusios šiais ryšiais:

α·( x + y) = α· x + α· y− daugyba iš skaičiaus yra skirstomoji elementų pridėjimo atžvilgiu;

(α + β )· x = α· x + β · x− daugyba iš vektoriaus yra skirstomoji skaičių sudėties atžvilgiu.

Bilietas 17. Linijinės erdvės poerdvė. Jo savybės. Linijinis apvalkalas.

Linijinės poerdvės apibrėžimas

Vadinamas netuščias tiesinės erdvės V poaibis L tiesinė poerdvė tarpas V, jei

1) u+v∈L ∀u,v∈L (sudėties operacijos atžvilgiu poerdvė uždara);

2) λv∈L ∀v∈L ir bet koks skaičius λ (poerdvė uždara vektoriaus dauginimo iš skaičiaus operacijos atžvilgiu).

1 nuosavybė Kiekviena tiesinės erdvės R poerdvė yra tiesinė erdvė.

2 nuosavybė dim M ≤ dim Rn.

3 nuosavybė (apie pagrindo užbaigimą). Jei (ep)k yra tiesinės erdvės Rn poerdvės M pagrindas, ir k< n, то можно так выбрать элементы в Rn ek+1, ek+2, . . . , en, что (ep)n будет базисом в Rn.

Apibrėžimas: linijinis apvalkalas yra vektorių, apibrėžiančių tiesinę poerdvę, rinkinys. Griežtai kalbant, linijinis korpusas yra visų nurodytų vektorių linijinių kombinacijų rinkinys. Taip pat nurodysime savybes:

Bilietas 18. Apibrėžkite Euklido erdvę. Paaiškinkite vektoriaus normalizavimo veiksmą.

Apibrėžimas Tegu V yra vektorinė erdvė. Sakoma, kad skaliarinė sandauga yra pateikta V, jei bet kurie du vektoriai x, y ∈ V yra susieti su realiuoju skaičiumi, vadinamu šių vektorių skaliarine sandauga ir žymima xy arba (x, y), todėl šios sąlygos yra tenkinama (čia x, y, z yra savavališki vektoriai iš V ir

t – savavališkas realusis skaičius):

1) xy = yx (skaliarinė sandauga yra komutacinė);

2) (tx)y = t(xy);

3) (x + y)z = xz + yz (skaliarinė sandauga yra skirstomoji sudėjimo atžvilgiu);

4) xx >=0 ir xx = 0 tada ir tik tada, kai x = 0.

Vektorinė erdvė, kurioje nurodyta skaliarinė sandauga, vadinama euklidine. Savybės 1)–4) vadinamos Euklido erdvės aksiomomis.

Vektorius vadinamas normalizuotas arba individualus, jei jo ilgis lygus vienetui. Norint normalizuoti savavališką nulinį vektorių, reiškia jį padalyti iš jo ilgio. Rezultatas yra vieneto vektorius, nukreiptas į pradinį.
Savavališko vektoriaus ir vienetinio vektoriaus skaliarinė sandauga parodys tikslų šio vektoriaus projekcijos ilgį į vieneto kryptį. Norėdami gauti ne tik ilgį, bet ir pačią vektoriaus projekciją, turime padauginti šį ilgį iš mūsų vieneto vektoriaus:

Bilietas 19 Kas yra ortonormalus pagrindas? Paaiškinkite Gramo-Schmidto ortogonalizacijos procesą naudodami dvimačio pagrindo pavyzdį.

Ortonormali sistema, susidedanti iš n vektoriai n-dimensinė Euklido erdvė, sudaro šios erdvės pagrindą. Toks pagrindas vadinamas ortonormalus pagrindu.

Jeigu e 1 , e 2 , ..., en -ortonormalus pagrindu n-dimensinė Euklido erdvė ir

x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + ... + x n e n - vektoriaus skaidymas x pagal šį pagrindą, tada koordinates xi vektorius x ortonormaliu pagrindu apskaičiuojami naudojant formules xi =(x, ei ), i= 1, 2, ..., n.

GRAMA-SCHMIDT, Duota tiesiškai nepriklausoma vektorių sistema b 1 , b 2 , …, b l , a l+1 , …, a n l ≥ 1(1) bus pažymėta dalis, kuriai ji yra statmena b l+1 vektoriaus stačiakampis komponentas ir l+1 stačiakampės sistemos atžvilgiu b 1 , b 2 , …, b l. Tada 1. Vektorinė sistema b 1 , b 2 , …, b l , b l+1 , a l+2 , …, a n(2) yra lygiavertis (1).

2. Vektorių sistema (2) yra tiesiškai nepriklausoma ir jos dalis b 1 , b 2 , …, b l , b l+1– stačiakampė.Naudodami stačiakampio komponento sąvoką aprašome tiesiškai nepriklausomos sistemos transformacijos procesą a 1, a 2, …, a nį ortogonalią sistemą b 1, b 2, …, b n nuliniai vektoriai, kurie vadinami sistemos ortogonalizacija a 1, a 2, …, a n.Šis procesas susideda iš n žingsnių, n – vektorių skaičiaus pradinėje sistemoje a 1, a 2, …, a n.

1 žingsnis. Mes tikime b 1 = a 1 ir mes gauname sistemą b 1, a 2, …, a n

2 žingsnis. Pakeiskime vektorių sistemoje (3) a 2 stačiakampio komponento atžvilgiu b 1, ir gauname sistemą: b 1 , b 2 , a 3 ,…, a n (4)

Pagal ortogonalizacijos žingsnius sistema (4) yra tiesiškai nepriklausoma ir jos dalis b 1, b 2- stačiakampis.

Tarkime, kad tiesiškai nepriklausoma sistema jau buvo sukurta b 1, b 2, …, b k-1, a k,…, a n, (5)

kuriame b 1, b 2, …, b k-1– stačiakampis.

K-ajame žingsnyje k = 3, n, pakeičiame vektorių sistemoje (5) a k jos stačiakampis komponentas sistemos atžvilgiu b 1, b 2, …, b k-1 ir mes gauname sistemą b 1 , …, b k , a k+1 , …, a n.

Atlikę n-tą žingsnį, gauname tiesiškai nepriklausomą ir stačiakampę vektorių sistemą b 1, b 2, …, b n.

Bilietas 20.Pateikite operatoriaus tiesinėje erdvėje apibrėžimą. Kuris operatorius vadinamas tiesiniu.

operatorius yra taisyklė, pagal kurią kiekvienas elementas x X sutampa vienas elementas y kažkoks netuščias rinkinys Y . Teigiama, kad operatorius veiks nuo X V Y .

Operatoriaus veiksmas žymimas y = A (x), y- vaizdas x, x- prototipas y.

Jei kiekvienas elementas y iš Y turi vieną prototipą x iš X , y= A (x), iškviečiamas operatorius „vienas su vienu“ atvaizdavimas X V Y arba transformacija X , X - operatoriaus apibrėžimo apimtis.

Leisti X Ir Y dvi tiesinės erdvės. operatorius A , veikia nuo X V Y , paskambino linijinis operatorius, jei bet kuriems dviem elementams u Ir v iš X ir bet kuris skaičius α yra teisingas:

A(u+ v) = A (u) + A (v) , A (α· u) = α· A (u).

Bilietas 21. Pateikite linijinio operatoriaus pavyzdį. Kokias operacijas su tiesiniais operatoriais žinote?

KAMPAS TARP PLOKTUMU

Apsvarstykite dvi plokštumas α 1 ir α 2, atitinkamai apibrėžtas lygtimis:

Pagal kampu tarp dviejų plokštumų suprasime vieną iš šių plokštumų suformuotų dvikampių kampų. Akivaizdu, kad kampas tarp normaliųjų vektorių ir plokštumų α 1 ir α 2 yra lygus vienam iš nurodytų gretimų dvikampių arba . Štai kodėl . Nes Ir , Tai

Pavyzdys. Nustatykite kampą tarp plokštumų x+2y-3z+4 = 0 ir 2 x+3y+z+8=0.

Dviejų plokštumų lygiagretumo sąlyga.

Dvi plokštumos α 1 ir α 2 yra lygiagrečios tada ir tik tada, kai jų normalieji vektoriai yra lygiagrečios, todėl .

Taigi dvi plokštumos yra lygiagrečios viena kitai tada ir tik tada, kai atitinkamų koordinačių koeficientai yra proporcingi:

arba

Plokštumų statmenumo sąlyga.

Akivaizdu, kad dvi plokštumos yra statmenos tada ir tik tada, kai jų normalūs vektoriai yra statmeni, todėl arba .

Taigi,.

Pavyzdžiai.

TIESIAI ERDVĖJE.

VEKTORINĖ LYGTIS LINIJAI.

PARAMETRINĖS TIESIOGINĖS LYGTYBĖS

Linijos padėtis erdvėje visiškai nustatoma nurodant bet kurį iš jos fiksuotų taškų M 1 ir vektorius, lygiagretus šiai tiesei.

Vadinamas vektorius, lygiagretus tiesei vedliaišios linijos vektorius.

Taigi tegul tiesi linija l eina per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1), guli ant tiesės, lygiagrečios vektoriui .

Apsvarstykite savavališką tašką M(x,y,z) tiesioje linijoje. Iš paveikslo aišku, kad .

Vektoriai ir yra kolineariniai, todėl yra toks skaičius t, kas , kur yra daugiklis t gali įgauti bet kokią skaitinę reikšmę, priklausomai nuo taško padėties M tiesioje linijoje. veiksnys t vadinamas parametru. Nurodę taškų spindulio vektorius M 1 ir M atitinkamai per ir , gauname . Ši lygtis vadinama vektorius tiesios linijos lygtis. Tai rodo, kad kiekvienai parametro vertei t atitinka kurio nors taško spindulio vektorių M, gulėti ant tiesios linijos.

Parašykime šią lygtį koordinačių forma. Pastebėti, kad , ir iš čia

Gautos lygtys vadinamos parametrinis tiesės lygtys.

Keičiant parametrą t keičiasi koordinatės x, y Ir z ir laikotarpis M juda tiesia linija.

KANONINĖS TIESIOGINĖS LYGTYBĖS

Leisti M 1 (x 1 , y 1 , z 1) – taškas, esantis tiesioje linijoje l, Ir yra jo krypties vektorius. Vėl paimkime savavališką linijos tašką M(x,y,z) ir apsvarstykite vektorių .

Akivaizdu, kad vektoriai taip pat yra kolinearūs, todėl jų atitinkamos koordinatės turi būti proporcingos, todėl

– kanoninis tiesės lygtys.

1 pastaba. Atkreipkite dėmesį, kad kanonines linijos lygtis galima gauti iš parametrinių, pašalinus parametrą t. Iš tikrųjų iš parametrinių lygčių gauname arba .

Pavyzdys. Užrašykite linijos lygtį parametrine forma.

Pažymėkime , iš čia x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Užrašas 2. Tegul tiesė yra statmena vienai iš koordinačių ašių, pavyzdžiui, ašiai Jautis. Tada tiesės krypties vektorius yra statmenas Jautis, vadinasi, m=0. Todėl linijos parametrinės lygtys įgis tokią formą

Iš lygčių neįtraukiant parametro t, gauname formos tiesės lygtis

Tačiau ir šiuo atveju sutinkame formaliai rašyti kanonines tiesės lygtis formoje . Taigi, jei vienos iš trupmenų vardiklis yra lygus nuliui, tai reiškia, kad tiesė yra statmena atitinkamai koordinačių ašiai.

Panašus į kanonines lygtis atitinka ašims statmeną tiesę Jautis Ir Oy arba lygiagrečiai ašiai Ozas.

Pavyzdžiai.

BENDROSIOS TIESĖS LYGTYBĖS KAIP Dviejų PLOKŠTUMŲ SANTRAUKOS LINĖS

Apskritai, bet kurios dvi nelygiagrečios plokštumos, pateiktos pagal bendrąsias lygtis

nustatyti tiesią jų susikirtimo liniją. Šios lygtys vadinamos bendrosios lygtys tiesiai.

Pavyzdžiai.

Sukurkite tiesę, kurią pateikia lygtys

Norint sukurti tiesią liniją, pakanka rasti bet kuriuos du jos taškus. Lengviausias būdas yra pasirinkti tiesės ir koordinačių plokštumų susikirtimo taškus. Pavyzdžiui, susikirtimo su plokštuma taškas xOy gauname iš tiesės lygčių, darydami prielaidą z= 0:

Išsprendę šią sistemą, randame esmę M 1 (1;2;0).

Panašiai, darant prielaidą y= 0, gauname tiesės susikirtimo su plokštuma tašką xOz:

Nuo bendrųjų tiesės lygčių galima pereiti prie jos kanoninių arba parametrinių lygčių. Norėdami tai padaryti, turite rasti tam tikrą tašką M 1 tiesėje ir tiesės krypties vektorius.

Taško koordinatės M 1 gauname iš šios lygčių sistemos, suteikdami vienai iš koordinačių savavališką reikšmę. Norėdami rasti krypties vektorių, atkreipkite dėmesį, kad šis vektorius turi būti statmenas abiem normaliesiems vektoriams Ir . Todėl už tiesės krypties vektoriaus l galite paimti normaliųjų vektorių vektorinę sandaugą:

Pavyzdys. Pateikite bendrąsias linijos lygtis į kanoninę formą.

Raskime tašką, esantį ant linijos. Norėdami tai padaryti, savavališkai pasirenkame vieną iš koordinačių, pavyzdžiui, y= 0 ir išspręskite lygčių sistemą:

Tiesę apibrėžiančių plokštumų normalieji vektoriai turi koordinates Todėl krypties vektorius bus tiesus

. Vadinasi, l: .

KAMPAS TARP TIESIŲ

Kampas tarp tiesių erdvėje vadinsime bet kurį iš gretimų kampų, sudarytų iš dviejų tiesių, nubrėžtų per savavališką tašką, lygiagrečią duomenims.

Tegu erdvėje pateikiamos dvi eilutės:

Akivaizdu, kad kampas φ tarp tiesių gali būti laikomas kampu tarp jų krypties vektorių ir . Nuo tada, naudodamiesi kampo tarp vektorių kosinuso formule, gauname

Užduotis reikalauja raskite dviejų plokštumų susikirtimo liniją ir nustatykite tikrąjį vienos iš jų dydį plokštumos lygiagretaus judėjimo metodu.

Norėdami išspręsti tokią klasikinę aprašomosios geometrijos problemą, turite žinoti šią teorinę medžiagą:

— erdvės taškų projekcijų brėžimas į kompleksinį brėžinį nurodytomis koordinatėmis;

— sudėtingame brėžinyje plokštumos, bendrosios ir konkrečios plokštumos nustatymo metodai;

— pagrindinės plokštumos linijos;

— tiesės ir plokštumos susikirtimo taško nustatymas (radimas "susitikimo taškai");

— lygiagretaus judėjimo plokštumoje metodas natūralaus plokščios figūros dydžiui nustatyti;

— tiesių ir plokštumų matomumo nustatymas brėžinyje naudojant konkuruojančius taškus.

Problemos sprendimo tvarka

1. Pagal parinktį Priskyrimas naudojant taško koordinates, kompleksiniame brėžinyje nubraižome dvi plokštumas, nurodytas trikampių pavidalu ABC(A', B', C'; A, B, C) ir DKE(D', K', E'; D, K, E) ( 1.1 pav).

1.1 pav

2 . Norėdami rasti sankirtos liniją, kurią naudojame projekcijos plokštumos metodas. Jo esmė ta, kad paimama viena pirmosios plokštumos (trikampio) kraštinė (linija) ir įtraukiama į projektavimo plokštumą. Nustatomas šios tiesės susikirtimo taškas su antrojo trikampio plokštuma. Kartodami šią užduotį dar kartą, bet antrojo trikampio tiesei ir pirmojo trikampio plokštumai nustatome antrąjį susikirtimo tašką. Kadangi gauti taškai vienu metu priklauso abiem plokštumoms, jie turi būti šių plokštumų susikirtimo tiesėje. Šiuos taškus sujungę tiesia linija, turėsime norimą plokštumų susikirtimo liniją.

3. Problema išspręsta taip:

A)įtraukti į projekcijos plokštumą F(F') pusėje AB(A’ B’) pirmasis trikampis priekinėje projekcijų plokštumoje V. Pažymime išsikišusios plokštumos susikirtimo taškus su kraštinėmis DK Ir DE antrasis trikampis, taškų gavimas 1 (1') ir 2 (2'). Perkeliame juos išilgai ryšio linijų į horizontalią projekcijos plokštumą Hį atitinkamas trikampio kraštines, tašką 1 (1) ant šono DE ir laikotarpis 2(2) ant šono DK.

1.2 pav

b) jungiantys taškų projekcijas 1 ir 2, turėsime išsikišusios plokštumos projekciją F. Tada linijos susikirtimo taškas AB su trikampio plokštuma DKE nustatoma (pagal taisyklę) kartu su išsikišusios plokštumos projekcijos sankirta 1-2 ir to paties pavadinimo linijos projekcija AB. Taigi mes gavome horizontalią pirmojo plokštumų susikirtimo taško projekciją - M, pagal kurį nustatome (projektuojame pagal ryšio linijas) jo frontalinę projekciją – M’ tiesioje linijoje A’ B’ (1.2.a pav);

V) antrą tašką randame panašiai. Mes jį uždarome projektavimo plokštumoje G(G) antrojo trikampio kraštinė DK(DK) . Pažymime išsikišusios plokštumos susikirtimo taškus su pirmojo trikampio kraštinėmis A.C.IrB.C. horizontalioje projekcijoje, gaunant taškų projekcijas 3 ir 4. Mes juos projektuojame į atitinkamas puses priekinėje plokštumoje, gauname 3’ ir 4'. Sujungę juos tiesia linija, turime išsikišusios plokštumos projekciją. Tada antrasis plokštumų susikirtimo taškas bus tiesės sankirtoje 3’-4’ su trikampio kraštine D’ K’ , kuris buvo uždarytas projekcijos plokštumoje. Taigi mes gavome antrojo susikirtimo taško priekinę projekciją - N’ , išilgai ryšio linijos randame horizontalią projekciją - N (1.2.b pav).

G) jungiantys gautus taškus MN(MN) Ir (M’ N’) horizontalioje ir frontalinėje plokštumose turime norimą duotų plokštumų susikirtimo liniją.

4. Naudodami konkuruojančius taškus nustatome plokštumų matomumą. Pavyzdžiui, paimkime keletą konkuruojančių taškų, 1’=5’ frontalinėje projekcijoje. Mes projektuojame juos ant atitinkamų pusių į horizontalią plokštumą ir gauname 1 ir 5. Matome tai esmė 1 , guli ant šono DE turi didelę ašies koordinates x nei taškas 5 , guli ant šono AIN. Todėl pagal taisyklę didesnė koordinatė, taškas 1 ir trikampio kraštinę D„E“ bus matomas priekinėje plokštumoje. Taigi nustatomas kiekvienos trikampio kraštinės matomumas horizontalioje ir frontalinėje plokštumose. Matomos linijos brėžiniuose brėžiamos kaip vientisa kontūro linija, o nematomos – kaip punktyrinė linija. Prisiminkite, kad plokštumų susikirtimo taškuose ( M— N IrM’- N’ ) pasikeis matomumas.

1.3 pav

R1 pav.4 .

Diagramoje papildomai parodytas matomumo horizontalioje plokštumoje nustatymas naudojant konkuruojančius taškus 3 Ir 6 tiesiomis linijomis DK Ir AB.

5. Plokštumos lygiagretaus judėjimo metodu nustatome natūralų trikampio plokštumos dydį ABC, Kam:

A) nurodytoje plokštumoje per tašką C(C) atlikti frontalinę C— F(SU-FIrC’- F’) ;

b) laisvajame brėžinio lauke horizontalioje projekcijoje paimame (pažymime) savavališką tašką C 1, atsižvelgiant į tai, kad tai yra viena iš trikampio viršūnių (konkrečiai viršūnė C). Iš jo atkuriame statmeną priekinei plokštumai (per x ašis);

1.5 pav

V) plokštumai lygiagrečiai judant verčiame horizontaliąją trikampio projekciją ABC, į naujas pareigas A 1 B 1 C 1 kad frontalinėje projekcijoje užimtų išsikišimo padėtį (virsta į tiesią). Norėdami tai padaryti: statmenai nuo taško C 1, atidėkite priekinę horizontalią projekciją C 1 — F 1 (ilgis l CF) gauname tašką F 1 . Kompaso sprendimas iš taško F 1 dydis F-A darome lanko įpjovą, o iš taško C 1 - įpjovos dydis C.A., tada lanko linijų sankirtoje gauname tašką A 1 (antroji trikampio viršūnė);

– panašiai suprantame esmę B 1 (iš taško C 1 padaryti dydžio įpjovą C— B(57 mm), o nuo taško F 1 dydis F— B(90 mm).Atkreipkite dėmesį, kad su teisingu sprendimu yra trys taškai A 1 F’ 1 Ir B’ 1 turi gulėti toje pačioje tiesėje (trikampio kraštinėje A 1 — B 1 ) dvi kitos pusės SU 1 — A 1 Ir C 1 — B 1 gaunami sujungus jų viršūnes;

G) iš sukimo metodo išplaukia, kad judant ar sukant tašką tam tikroje projekcijos plokštumoje - konjuguotoje plokštumoje, šio taško projekcija turi judėti tiesia linija, mūsų konkrečiu atveju išilgai tiesia lygiagrečia ašimi X. Tada braižome iš taškų A’ B’ C’ iš frontalinės projekcijos šios tiesės (jos vadinamos taškų sukimosi plokštumos), o iš priekinių pasislinkusių taškų projekcijų A 1 1C 1 atstatyti statmenus (jungimo linijas) ( 1.6 pav).

1.6 pav

Šių tiesių susikirtimas su atitinkamais statmenais suteikia naujas trikampio priekinės projekcijos vietas ABC, konkrečiai A’ 1 1C’ 1 kuri turėtų tapti projekcinė (tiesi linija), nes horizontali h 1 nubrėžėme statmenai priekinei projekcijų plokštumai ( 1.6 pav);

5) tada norint gauti natūralų trikampio dydį, pakanka pasukti jo priekinę projekciją, kol ji bus lygiagreti horizontaliai plokštumai. Posūkis atliekamas naudojant kompasą per tašką A'1, laikydami jį sukimosi centru, dedame trikampį A’ 1 1C’ 1 lygiagrečiai ašiai X, mes gauname A’ 2 AT 2C’ 2 . Kaip minėta aukščiau, kai taškas pasukamas, konjuguotoje (dabar horizontalioje) projekcijoje jie juda išilgai tiesių linijų, lygiagrečių ašiai X. Statmenų (sujungimo linijų) praleidimas iš frontalinių taškų projekcijų A’ 2 AT 2C’ 2 perbraukę jas atitinkamomis linijomis randame horizontaliąją trikampio projekciją ABC (A 2 AT 2C 2 ) tikras dydis ( 1.7 pav).

Ryžiai. 1.7

Turiu visus paruoštus problemų sprendimus su tokiomis koordinatėmis, galite nusipirkti

Kaina 55 rub., brėžinius ant aprašomosios geometrijos iš Frolovo knygos galite lengvai atsisiųsti iš karto po apmokėjimo arba atsiųsiu el. Jie yra ZIP archyve įvairiais formatais:
*.jpg – įprastas spalvotas piešinio brėžinys skalėje nuo 1 iki 1 geros raiškos 300 dpi;
*.cdw – Kompaso programos formatas 12 ir naujesnis arba LT versija;
*.dwg ir .dxf — AUTOCAD, nanoCAD programos formatas;

Skyrius: aprašomoji geometrija /

Tiesė erdvėje gali būti apibrėžta kaip dviejų nelygiagrečių plokštumų susikirtimo linija, tai yra kaip taškų rinkinys, atitinkantis dviejų tiesinių lygčių sistemą.

(V.5)

Teisingas ir atvirkštinis teiginys: dviejų nepriklausomų (V.5) formos tiesinių lygčių sistema apibrėžia tiesę kaip plokštumų (jei jos nėra lygiagrečios) susikirtimo liniją. Sistemos (V.5) lygtys vadinamos bendroji lygtis tiesi linija erdvėje
.

PavyzdysV.12 . Sudarykite kanoninę tiesės, pateiktos bendromis plokštumų lygtimis, lygtį

Sprendimas. Norėdami parašyti kanoninę tiesės lygtį arba, kas yra tas pats, tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtį, turite rasti bet kurių dviejų tiesės taškų koordinates. Pavyzdžiui, jie gali būti tiesės susikirtimo taškai su bet kuriomis dviem koordinačių plokštumomis Oyz Ir Oxz.

Tiesės ir plokštumos susikirtimo taškas Oyz turi abscisę
. Todėl šioje lygčių sistemoje darant prielaidą
, gauname sistemą su dviem kintamaisiais:

Jos sprendimas
,
kartu su
apibrėžia tašką
norima tiesi linija. Darant prielaidą, kad šioje lygčių sistemoje
, mes gauname sistemą

kurio sprendimas
,
kartu su
apibrėžia tašką
tiesės susikirtimas su plokštuma Oxz.

Dabar užrašykime tiesės, einančios per taškus, lygtis
Ir
:
arba
, Kur
bus šios tiesės krypties vektorius.

PavyzdysV.13. Tiesi linija nurodoma kanonine lygtimi
. Parašykite bendrąją šios eilutės lygtį.

Sprendimas. Kanoninę linijos lygtį galima parašyti kaip dviejų nepriklausomų lygčių sistemą:



Gavome bendrąją tiesės lygtį, kurią dabar pateikia dviejų plokštumų, iš kurių viena
lygiagrečiai ašiai Ozas (
), ir kitas
– kirviai OU (
).

Šią tiesią liniją galima pavaizduoti kaip dviejų kitų plokštumų susikirtimo liniją, parašius jos kanoninę lygtį kitos nepriklausomų lygčių poros forma:



komentuoti . Tą pačią tiesę galima apibrėžti skirtingomis dviejų tiesinių lygčių sistemomis (tai yra skirtingų plokštumų susikirtimu, nes per vieną tiesę galima nubrėžti begalinį skaičių plokštumų), taip pat skirtingomis kanoninėmis lygtimis (priklausomai nuo tiesės taško pasirinkimas ir jo krypties vektorius) .

Nenulinis vektorius, lygiagretus tiesei, vadinsime jį kreipiamasis vektorius .

Įsileisk į trimatę erdvę duota tiesi linija l, einantis per tašką
, ir jo krypties vektorius
.

Bet koks vektorius
, Kur
, esantis ant linijos, yra kolinerinis su vektoriumi , todėl jų koordinatės yra proporcingos, tai yra

. (V.6)

Ši lygtis vadinama kanonine tiesės lygtimi. Ypatingu atveju, kai ﻉ yra plokštuma, gauname plokštumos tiesės lygtį

. (V.7)

PavyzdysV.14. Raskite tiesės, einančios per du taškus, lygtį
,
.

Kur
,
,
.

Lygtį (V.6) patogu užrašyti parametrine forma. Kadangi lygiagrečių tiesių krypties vektorių koordinatės yra proporcingos, tai, darant prielaidą

Kur t - parametras,
.

Atstumas nuo taško iki linijos

Apsvarstykite dvimatę Euklido erdvę ﻉ su Dekarto koordinačių sistema. Tegul taškas
ﻉ ir lﻉ. Raskime atstumą nuo šio taško iki linijos. Padėkime
, ir tiesiai l pateikta lygtimi
(V.8 pav.).

Atstumas
, vektorius
, Kur
– normaliosios linijos vektorius l,
Ir – kolinearinės, todėl jų koordinatės yra proporcingos, t
, vadinasi,
,
.

Iš čia
arba padauginus šias lygtis iš A Ir B atitinkamai ir juos pridėję randame
, iš čia

(V.8)

nustato atstumą nuo taško
į tiesią liniją
.

PavyzdysV.15. Raskite tiesės, einančios per tašką, lygtį
statmena tiesei linijai l:
ir raskite atstumą nuo
į tiesią liniją l.

Iš pav. V.8 turime
, o normalusis vektorius yra tiesus l
. Iš mūsų turimos statmenumo sąlygos

Nes
, Tai

. (V.9)

Tai tiesės, einančios per tašką, lygtis
,statmenai tiesei
.

Turėkime tiesės (V.9), einančios per tašką, lygtį
, statmena linijai l:
. Raskite atstumą nuo taško
į tiesią liniją l, naudojant formulę (V.8).

Norint rasti reikiamą atstumą, pakanka rasti tiesės, einančios per du taškus, lygtį
ir laikotarpis
gulėti ant tiesės ties statmeno pagrindu. Leisti
, Tada

Nes
, ir vektorius
, Tai

. (V.11)

Nuo taško
guli ant tiesios linijos l, tada turime kitą lygybę
arba

Sumažinkime sistemą iki tokios formos, kuri patogi Cramerio metodui taikyti

Jo sprendimas turi formą

. (V.12)

Pakeitę (V.12) į (V.10), gauname pradinį atstumą.

PavyzdysV.16. Dvimatėje erdvėje duotas taškas
ir tiesiai
. Raskite atstumą nuo taško
į tiesią liniją; parašykite tiesės, einančios per tašką, lygtį
statmenai nurodytai tiesei ir raskite atstumą nuo taško
iki statmens pradinei linijai pagrindo.

Pagal formulę (V.8) turime

Mes randame tiesės, kurioje yra statmenas, lygtį kaip tiesę, einanti per du taškus
Ir
, naudojant formulę (V.11). Nes
, tada, atsižvelgiant į tai, kad
, A
, mes turime

Norėdami rasti koordinates
turime sistemą, atsižvelgdami į tai, kad taškas
guli ant pradinės linijos

Vadinasi,
,
, iš čia.

Apsvarstykite trimatę Euklido erdvę ﻉ. Tegul taškas
ﻉ ir plokštuma ﻉ. Raskime atstumą nuo šio taško
prie lygties pateiktos plokštumos  (V.9 pav.).

Analogiškai turime dvimatę erdvę
ir vektorius
, a, iš čia

. (V.13)

Rašome lygtį tiesės, kurioje yra statmenas plokštumai  kaip tiesės, einančios per du taškus, lygtį
Ir
, guli lėktuve:

. (V.14)

Norėdami rasti taško koordinates
prie bet kurių dviejų (V.14) formulės lygčių pridedame lygtį

Išspręsdami trijų lygčių sistemą (V.14), (V.15), randame ,,– taško koordinates
. Tada statmens lygtis bus parašyta forma

Norėdami rasti atstumą nuo taško
į plokštumą vietoj formulės (V.13) naudojame

Įveskite kanonines tiesės lygtis

koeficientas skiriasi nuo nulio, t.y. tiesė nėra lygiagreti xOy plokštumai. Parašykime šias lygtis atskirai tokia forma:

Mūsų sąlygomis (6) lygtys visiškai apibrėžia tiesę. Kiekvienas iš jų atskirai išreiškia plokštumą, kai pirmoji iš jų lygiagreti Oy ašiai, o antroji - ašiai

Taigi, pavaizduodami tiesę su (6) formos lygtimis, mes laikome ją dviejų plokštumų, kurios projektuoja šią tiesę koordinačių plokštumoje xOz ir yOz, sankirta. Pirmoji iš (6) lygčių, nagrinėjama plokštumoje, nustato tam tikros tiesės projekciją į šią plokštumą; lygiai taip pat antroji iš (6) lygčių, nagrinėjama plokštumoje, nustato duotosios tiesės projekciją yOz plokštumoje. Taigi, galime sakyti, kad pateikti tiesės lygtis formoje (6), reiškia pateikti jos projekciją koordinačių plokštumoje xOz ir yOz.

Jei orientacinis koeficientas būtų lygus nuliui, tai, pavyzdžiui, bent vienas iš kitų dviejų koeficientų skirtųsi nuo nulio, ty tiesė nebūtų lygiagreti yOz plokštumai. Šiuo atveju galime išreikšti tiesią liniją

plokštumų lygtys, projektuojančios jį į koordinačių plokštumas, rašant (5) lygtis į formą

Taigi bet kurią tiesę galima išreikšti dviejų plokštumų, einančių per ją ir projektuojančių ją į koordinačių plokštumas, lygtimis. Bet visai nebūtina apibrėžti tiesės tik tokia plokštumų pora.

Per kiekvieną tiesią liniją eina daugybė plokštumų. Bet kurios dvi iš jų, susikertančios, apibrėžia ją erdvėje. Vadinasi, bet kurių dviejų tokių plokštumų lygtys, nagrinėtos kartu, atspindi šios linijos lygtis.

Apskritai, bet kurios dvi plokštumos, kurios nėra lygiagrečios viena kitai, turinčios bendrąsias lygtis

nustatyti tiesią jų susikirtimo liniją.

Lygtys (7), nagrinėjamos kartu, vadinamos bendrosiomis tiesės lygtimis.

Iš tiesės (7) bendrųjų lygčių galime pereiti prie jos kanoninių lygčių. Tam turime žinoti tam tikrą linijos tašką ir krypties vektorių.

Mes galime lengvai rasti taško koordinates pagal pateiktą lygčių sistemą, savavališkai pasirinkę vieną iš koordinačių ir išspręsdami dviejų lygčių sistemą, naudodami likusių dviejų koordinačių sąlygas.

Norėdami rasti tiesės krypties vektorių, pažymime, kad šis vektorius, nukreiptas išilgai šių plokštumų susikirtimo linijos, turi būti statmenas abiem šių plokštumų normaliiesiems vektoriams. Ir atvirkščiai, kiekvienas statmenas vektorius yra lygiagretus abiem plokštumoms, taigi ir nurodytai tiesei.

Tačiau vektorinis produktas taip pat turi šią savybę. Todėl šių plokštumų normaliųjų vektorių vektorinę sandaugą galima paimti kaip tiesės krypties vektorių.

1 pavyzdys. Sumažinkite tiesės lygtį iki kanoninės formos

Savavališkai parinksime vieną iš koordinačių. Tegu, pavyzdžiui,. Tada

iš kur Taigi, mes radome tašką (2, 0, 1), esantį ant linijos,

Dabar, radę vektorių sandaugą, gauname tiesės krypties vektorių, todėl kanoninės lygtys bus tokios:

komentuoti. Iš bendrųjų (7) formos tiesių lygčių galite pereiti prie kanoninių, nesinaudodami vektoriniu metodu.

Pirmiausia pakalbėkime šiek tiek išsamiau apie lygtis

Išreikškime x ir y iš jų per . Tada gauname:

kur jis turėtų būti

Lygtys (6) vadinamos tiesiosiomis lygtimis projekcijose plokštumoje

Nustatykime konstantų M ir N geometrinę reikšmę: M yra nurodytos tiesės projekcijos į koordinačių plokštumą kampinis koeficientas (šios projekcijos kampo liestinė su Ozo ašimi), o N yra kampinis koeficientas. šios tiesės projekcijos į koordinačių plokštumą (šios projekcijos kampo liestinė su Ozo ašimi). Taigi, skaičiai nustato tam tikros tiesės projekcijų kryptis į dvi koordinačių plokštumas, o tai reiškia, kad jie taip pat apibūdina pačios duotosios tiesės kryptį. Todėl skaičiai M ir N vadinami tam tikros tiesės kampiniais koeficientais.

Norėdami sužinoti geometrinę konstantų reikšmę, į (6) lygtis įdėkime tiesią liniją, tada gauname: tai yra, taškas yra tam tikroje tiesėje. Akivaizdu, kad šis taškas yra šios tiesės susikirtimo su plokštuma taškas, taigi, tai yra šios tiesės pėdsako koordinačių plokštumoje koordinatės.

Dabar lengva pereiti nuo projekcinių lygčių prie kanoninių. Tarkime, pateiktos (6) lygtys. Išspręsdami šias lygtis, randame: