Kryžminė sandauga ir taškinė sandauga leidžia lengvai apskaičiuoti kampą tarp vektorių. Tegu pateikiami du vektoriai $\overline(a)$ ir $\overline(b)$, orientuotas kampas tarp jų lygus $\varphi$. Apskaičiuokime reikšmes $x = (\overline(a),\overline(b))$ ir $y = [\overline(a),\overline(b)]$. Tada $x=r\cos\varphi$, $y=r\sin\varphi$, kur $r=|\overline(a)|\cdot|\overline(b)|$ ir $\varphi$ yra norimas kampas, tai yra, taško $(x, y)$ poliarinis kampas lygus $\varphi$, todėl $\varphi$ galima rasti kaip atan2(y, x).

Trikampio plotas

Kadangi kryžminėje sandaugoje yra dviejų vektorių ilgių sandauga ir kampo tarp jų kosinusas, kryžminė sandauga gali būti naudojama trikampio ABC plotui apskaičiuoti:

$ S_(ABC) = \frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AC)]| $.

Taško priklausymas tiesei

Tegul taškas $P$ ir tiesė $AB$ (duota dviem taškais $A$ ir $B$). Būtina patikrinti, ar taškas priklauso tiesei $AB$.

Taškas priklauso tiesei $AB$ tada ir tik tada, kai vektoriai $AP$ ir $AB$ yra kolinearūs, tai yra, jei $ [ \overline(AP), \overline(AB)]=0 $.

Taško priklausymas spinduliui

Tegu duotas taškas $P$ ir spindulys $AB$ (apibrėžti dviem taškais – spindulio $A$ pradžia ir tašku ant spindulio $B$). Būtina patikrinti, ar taškas priklauso spinduliui $AB$.

Prie sąlygos, kad taškas $P$ priklauso tiesei $AB$, reikia pridėti papildomą sąlygą - vektoriai $AP$ ir $AB$ yra bendrakrypčiai, tai yra yra kolinearūs ir jų skaliarinė sandauga yra ne neigiamas, tai yra $(\overline(AB), \overline(AP ))\ge 0$.

Taško priklausymas atkarpai

Tegu yra taškas $P$ ir atkarpa $AB$. Būtina patikrinti, ar taškas priklauso atkarpai $AB$.

Šiuo atveju taškas turi priklausyti tiek spinduliui $AB$, tiek spinduliui $BA$, todėl reikia patikrinti šias sąlygas:

$[\overline(AP), \overline(AB)]=0$,

$(\overline(AB), \overline(AP))\ge 0$,

$(\overline(BA), \overline(BP))\ge 0$.

Atstumas nuo taško iki linijos

Tegul taškas $P$ ir tiesė $AB$ (duota dviem taškais $A$ ir $B$). Reikia rasti atstumą nuo tiesės $AB$ taško.

Apsvarstykite trikampį ABP. Viena vertus, jo plotas lygus $S_(ABP)=\frac(1)(2)|[\overline(AB),\overline(AP) ]|$.

Kita vertus, jo plotas lygus $S_(ABP)= \frac(1)(2)h |AB|$, kur $h$ yra aukštis, nukritęs nuo taško $P$, tai yra atstumas nuo $P$ iki $ AB$. Kur $h=|[\overline(AB),\overline(AP)]|/|AB|$.

Atstumas nuo taško iki spindulio

Tegu duotas taškas $P$ ir spindulys $AB$ (apibrėžti dviem taškais – spindulio $A$ pradžia ir tašku ant spindulio $B$). Būtina rasti atstumą nuo taško iki spindulio, tai yra trumpiausios atkarpos nuo taško $P$ iki bet kurio spindulio taško ilgį.

Šis atstumas yra lygus ilgiui $AP$ arba atstumui nuo taško $P$ iki linijos $AB$. Kuris iš atvejų įvyksta, nesunkiai galima nustatyti pagal spindulio ir taško santykinę padėtį. Jei kampas PAB yra smailus, tai yra $(\overline(AB),\overline(AP)) > 0$, atsakymas bus atstumas nuo taško $P$ iki tiesės $AB$, kitaip atsakymas bus atkarpos $AB$ ilgis.

Atstumas nuo taško iki segmento

Tegu yra taškas $P$ ir atkarpa $AB$. Reikia rasti atstumą nuo $P$ iki atkarpos $AB$.

Jei statmens, nukritusio iš $P$ į tiesę $AB$, bazė patenka į atkarpą $AB$, tai galima patikrinti pagal sąlygas

$(\overline(AP), \overline(AB))\ge 0$,

$(\overline(BP), \overline(BA))\ge 0$,

tada atsakymas bus atstumas nuo taško $P$ iki linijos $AB$. Priešingu atveju atstumas bus lygus $\min(AP, BP)$.

1 apibrėžimas

Vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius, lygus šių vektorių dynių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui.

Vektorių a → ir b → sandaugos žymėjimas yra a → , b → . Paverskime ją formule:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → ir b → žymi vektorių ilgius, a → , b → ^ - kampo tarp duotųjų vektorių žymėjimą. Jei bent vienas vektorius yra lygus nuliui, tai yra, jo reikšmė yra 0, tada rezultatas bus lygus nuliui, a → , b → = 0

Padauginus vektorių iš savęs, gauname jo ilgio kvadratą:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

2 apibrėžimas

Skaliarinis vektoriaus dauginimas iš savęs vadinamas skaliariniu kvadratu.

Apskaičiuota pagal formulę:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Žymėjimas a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → rodo, kad n p b → a → yra a → skaitinė projekcija į b → , n p a → a → - atitinkamai b → projekcija į a →.

Suformuluokime sandaugos apibrėžimą dviem vektoriams:

Dviejų vektorių a → iš b → skaliarinė sandauga vadinama atitinkamai vektoriaus a → ilgio sandauga pagal projekciją b → pagal a → kryptį arba ilgio b → sandauga pagal projekciją a →.

Taškų sandauga koordinatėse

Skaičiavimas taškinis produktas galima atlikti per vektorių koordinates duotas lėktuvas arba erdvėje.

Dviejų vektorių skaliarinė sandauga plokštumoje, trimatėje erdvėje, vadinama duotųjų vektorių a → ir b → koordinačių suma.

Skaičiuodami duotų vektorių a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) skaliarinę sandaugą plokštumoje Dekarto sistemoje, naudokite:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

trimatei erdvei taikoma išraiška:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

Tiesą sakant, tai yra trečiasis skaliarinio sandaugos apibrėžimas.

Įrodykime tai.

1 įrodymas

Tam įrodyti naudojame a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y vektoriams a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) Dekarto sistemoje.

Vektorius reikia atidėti

O A → = a → = a x, a y ir O B → = b → = b x, b y.

Tada vektoriaus A B → ilgis bus lygus A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Apsvarstykite trikampį O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) yra teisinga remiantis kosinuso teorema.

Pagal sąlygą aišku, kad O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , tai reiškia kampo tarp vektorių radimo formulę rašome skirtingai

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

Tada iš pirmojo apibrėžimo išplaukia, kad b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , o tai reiškia (a → , b →) = 1 2 · (a → 2 + b → 2 - b → - a → 2) .

Taikydami vektorių ilgio skaičiavimo formulę, gauname:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Įrodykime lygybes:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– atitinkamai trimatės erdvės vektoriams.

Vektorių su koordinatėmis skaliarinė sandauga sako, kad vektoriaus skaliarinis kvadratas yra lygus jo koordinačių kvadratų sumai atitinkamai erdvėje ir plokštumoje. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) ir (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Taškinis gaminys ir jo savybės

Yra taškinio produkto savybių, kurios taikomos a → , b → ir c → :

1. komutatyvumas (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. pasiskirstymas (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. kombinacinė savybė (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - bet koks skaičius;
4. skaliarinis kvadratas visada yra didesnis už nulį (a → , a →) ≥ 0, kur (a → , a →) = 0 tuo atveju, kai a → nulis.

Savybės paaiškinamos dėl skaliarinės sandaugos apibrėžimo plokštumoje ir realiųjų skaičių sudėties bei daugybos savybių.

Įrodykite komutacinę savybę (a → , b →) = (b → , a →) . Iš apibrėžimo gauname, kad (a → , b →) = a y · b y + a y · b y ir (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

Komutatyvumo savybe lygybės a x · b x = b x · a x ir a y · b y = b y · a y yra teisingos, o tai reiškia a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Iš to seka, kad (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Paskirstymas galioja bet kokiems skaičiams:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

ir (a → , b (1) → + b (2) → + . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

vadinasi, turime

(a (1) → + a (2) → +... + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Taškinis produktas su pavyzdžiais ir sprendimais

Bet kuri tokio pobūdžio problema išspręsta naudojant su skaliariniu sandauga susijusias savybes ir formules:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y arba (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Pažvelkime į keletą sprendimų pavyzdžių.

2 pavyzdys

A → ilgis yra 3, b → ilgis yra 7. Raskite taškinę sandaugą, jei kampas yra 60 laipsnių.

Sprendimas

Pagal sąlygą turime visus duomenis, todėl apskaičiuojame pagal formulę:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Atsakymas: (a → , b →) = 21 2 .

3 pavyzdys

Duoti vektoriai a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Kas yra skaliarinis produktas?

Sprendimas

Šiame pavyzdyje nagrinėjama koordinačių skaičiavimo formulė, nes jos nurodytos problemos teiginyje:

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​+ 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Atsakymas: (a → , b →) = - 9

4 pavyzdys

Raskite A B → ir A C → skaliarinę sandaugą. Taškai A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) pateikti koordinačių plokštumoje.

Sprendimas

Pirmiausia apskaičiuojamos vektorių koordinatės, nes pagal sąlygą pateikiamos taškų koordinatės:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Pakeitę formulę naudodami koordinates, gauname:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Atsakymas: (A B → , A C →) = 28 .

5 pavyzdys

Duoti vektoriai a → = 7 · m → + 3 · n → ir b → = 5 · m → + 8 · n → , raskite jų sandaugą. m → lygus 3, o n → lygus 2 vienetams, jie yra statmeni.

Sprendimas

(a → , b →) = (7 m → + 3 n → , 5 m → + 8 n →) . Taikydami pasiskirstymo savybę, gauname:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + ( 3 n → , 8 n →)

Iš gaminio ženklo išimame koeficientą ir gauname:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

Komutatyvumo savybe transformuojame:

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n → ) + 24 · (n → , n →)

Rezultate gauname:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →).

Dabar taikome skaliarinio sandaugos formulę kampu, nurodytu sąlygoje:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Atsakymas: (a → , b →) = 411

Jei yra skaitinė projekcija.

6 pavyzdys

Raskite a → ir b → skaliarinę sandaugą. Vektorius a → turi koordinates a → = (9, 3, - 3), projekciją b → su koordinatėmis (- 3, - 1, 1).

Sprendimas

Pagal sąlygą vektoriai a → ir projekcija b → yra priešingos krypties, nes a → = - 1 3 · n p a → b → → , o tai reiškia, kad projekcija b → atitinka ilgį n p a → b → → , o su " -“ ženklas:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

Pakeitę formulę, gauname išraišką:

(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

Atsakymas: (a → , b →) = - 33 .

Žinomos skaliarinės sandaugos problemos, kai reikia rasti vektoriaus ilgį arba skaitinę projekciją.

7 pavyzdys

Kokią reikšmę λ turėtų turėti duotam skaliariniam sandaugai a → = (1, 0, λ + 1) ir b → = (λ, 1, λ), bus lygi -1.

Sprendimas

Iš formulės aišku, kad reikia rasti koordinačių sandaugų sumą:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

Jei turime (a → , b →) = - 1 .

Norėdami rasti λ, apskaičiuojame lygtį:

λ 2 + 2 · λ = - 1, taigi λ = - 1.

Atsakymas: λ = - 1.

Fizinė skaliarinės sandaugos reikšmė

Mechanika svarsto taškinio gaminio taikymą.

Kai A veikia su pastovia jėga F → judantis kūnas iš taško M į N, galite rasti vektorių F → ir M N → ilgių sandaugą su kampo tarp jų kosinusu, o tai reiškia, kad darbas lygus jėgos ir poslinkio vektorių sandaugai:

A = (F → , M N →) .

8 pavyzdys

Materialaus taško judėjimas 3 metrais, veikiamas 5 Ntonų jėgos, nukreiptas 45 laipsnių kampu ašies atžvilgiu. Surasti.

Sprendimas

Kadangi darbas yra jėgos vektoriaus ir poslinkio sandauga, tai reiškia, kad remiantis sąlyga F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, gauname A = (F →, S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

Atsakymas: A = 15 2 2 .

9 pavyzdys

Materialus taškas, judantis iš M (2, - 1, - 3) į N (5, 3 λ - 2, 4), veikiant jėgai F → = (3, 1, 2), veikė 13 J. Apskaičiuokite judėjimo ilgis.

Sprendimas

Pateiktoms vektorių koordinatėms M N → turime M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .

Naudodami formulę ieškant darbo su vektoriais F → = (3, 1, 2) ir M N → = (3, 3 λ - 1, 7), gauname A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Pagal sąlygą duota, kad A = 13 J, tai reiškia, kad 22 + 3 λ = 13. Tai reiškia, kad λ = - 3, o tai reiškia, kad M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Norėdami rasti judėjimo ilgį M N →, taikykite formulę ir pakeiskite reikšmes:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Atsakymas: 158.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Paskaita: Vektorinės koordinatės; vektorių skaliarinė sandauga; kampas tarp vektorių

Vektorinės koordinatės

Taigi, kaip minėta anksčiau, vektorius yra nukreiptas segmentas, turintis savo pradžią ir pabaigą. Jei pradžia ir pabaiga yra vaizduojamos tam tikrais taškais, tada jie turi savo koordinates plokštumoje arba erdvėje.

Jei kiekvienas taškas turi savo koordinates, tada galime gauti viso vektoriaus koordinates.

Tarkime, kad turime vektorių, kurio vektoriaus pradžia ir pabaiga sekančius pavadinimus ir koordinatės: A(A x ; Ay) ir B(B x ; By)

Norint gauti tam tikro vektoriaus koordinates, iš vektoriaus pabaigos koordinačių reikia atimti atitinkamas pradžios koordinates:

Norėdami nustatyti vektoriaus koordinates erdvėje, naudokite šią formulę:

Taškinė vektorių sandauga

Yra du būdai, kaip apibrėžti skaliarinio produkto sąvoką:

• Geometrinis metodas. Pagal jį skaliarinė sandauga yra lygi šių modulių verčių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui.

• Algebrinė reikšmė. Algebros požiūriu dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra tam tikras dydis, gaunamas kaip atitinkamų vektorių sandaugų sumos rezultatas.

Jei vektoriai pateikiami erdvėje, tuomet turėtumėte naudoti panašią formulę:

Savybės:

• Jei du identiškus vektorius padauginsite skaliariniu būdu, tada jų skaliarinė sandauga nebus neigiama:

• Jei dviejų vienodų vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, tada šie vektoriai laikomi nuliais:

• Jei tam tikras vektorius padauginamas iš savęs, tada skaliarinė sandauga bus lygi jo modulio kvadratui:

• Skaliarinė sandauga turi komunikacinę savybę, tai yra, skaliarinė sandauga nepasikeis, jei vektoriai bus pertvarkyti:

• Nulinių vektorių skaliarinė sandauga gali būti lygi nuliui tik tuo atveju, jei vektoriai yra statmeni vienas kitam:

• Skaliarinei vektorių sandaugai komutacinis dėsnis galioja, kai vienas iš vektorių padauginamas iš skaičiaus:

• Naudodami skaliarinį sandaugą taip pat galite naudoti daugybos paskirstymo savybę:

Kampas tarp vektorių

Taip pat bus problemų, kurias galėsite išspręsti patys, į kurias galėsite matyti atsakymus.

Jei užduotyje ir vektorių ilgiai, ir kampas tarp jų pateikiami „ant sidabrinės lėkštelės“, tada problemos būklė ir jos sprendimas atrodo taip:

1 pavyzdys. Pateikiami vektoriai. Raskite vektorių skaliarinę sandaugą, jei jų ilgiai ir kampas tarp jų yra pavaizduoti šiomis reikšmėmis:

Galioja ir kitas apibrėžimas, visiškai lygiavertis 1 apibrėžimui.

2 apibrėžimas. Vektorių skaliarinė sandauga yra skaičius (skaliaras), lygus vieno iš šių vektorių ilgio ir kito vektoriaus projekcijos į ašį, kurią nustato pirmasis iš šių vektorių, sandaugai. Formulė pagal 2 apibrėžimą:

Uždavinį išspręsime naudodami šią formulę po kito svarbaus teorinio punkto.

Vektorių skaliarinės sandaugos koordinatėmis apibrėžimas

Tą patį skaičių galima gauti, jei dauginami vektoriai pateikiami jų koordinates.

3 apibrėžimas. Vektorių taškinė sandauga yra skaičius, lygus atitinkamų koordinačių porinių sandaugų sumai.

Ant paviršiaus

Jei du vektoriai ir plokštumoje yra apibrėžti jų dviem Dekarto stačiakampės koordinatės

tada šių vektorių skaliarinė sandauga yra lygi jų atitinkamų koordinačių porinių sandaugų sumai:

.

2 pavyzdys. Raskite vektoriaus projekcijos į ašį, lygiagrečią vektoriui, skaitinę reikšmę.

Sprendimas. Vektorių skaliarinę sandaugą randame sudėję jų koordinačių porines sandaugas:

Dabar turime prilyginti gautą skaliarinę sandaugą vektoriaus ilgio ir vektoriaus projekcijos į ašį, lygiagrečią vektoriui (pagal formulę), sandaugai.

Vektoriaus ilgį randame kaip kvadratinę šaknį iš jo koordinačių kvadratų sumos:

.

Sudarome lygtį ir ją išsprendžiame:

Atsakymas. Reikalinga skaitinė reikšmė yra minus 8.

Kosmose

Jei du vektoriai ir erdvėje yra apibrėžti jų trimis Dekarto stačiakampėmis koordinatėmis

,

tada šių vektorių skaliarinė sandauga taip pat lygi jų atitinkamų koordinačių porinių sandaugų sumai, tik jau yra trys koordinatės:

.

Užduotis rasti skaliarinę sandaugą naudojant nagrinėjamą metodą yra išanalizavus skaliarinės sandaugos savybes. Kadangi uždavinyje turėsite nustatyti, kokį kampą sudaro padauginti vektoriai.

Vektorių skaliarinės sandaugos savybės

Algebrinės savybės

1. (komutacinė nuosavybė: padaugintų vektorių vietoms pakeitus, jų skaliarinės sandaugos reikšmė nekeičiama).

2. (asociatyvinė savybė skaitinio koeficiento atžvilgiu: vektoriaus skaliarinė sandauga, padauginta iš tam tikro koeficiento ir kito vektoriaus, yra lygi šių vektorių skaliarinei sandaugai, padaugintai iš to paties koeficiento).

3. (paskirstymo savybė vektorių sumos atžvilgiu: dviejų vektorių sumos skaliarinė sandauga iš trečiojo vektoriaus yra lygi pirmojo vektoriaus trečiojo vektoriaus ir antrojo vektoriaus trečiojo vektoriaus skaliarinių sandaugų sumai).

4. (didesnio už nulį vektoriaus skaliarinis kvadratas), jei yra nulinis vektorius, ir , jei yra nulinis vektorius.

Geometrinės savybės

Tiriamos operacijos apibrėžimuose jau palietėme kampo tarp dviejų vektorių sampratą. Atėjo laikas paaiškinti šią sąvoką.

Aukščiau esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du vektorius, kurie suvesti į bendrą pradžią. Ir pirmas dalykas, į kurį reikia atkreipti dėmesį, yra tai, kad tarp šių vektorių yra du kampai - φ 1 Ir φ 2 . Kuris iš šių kampų atsiranda vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimuose ir savybėse? Nagrinėjamų kampų suma yra 2 π ir todėl šių kampų kosinusai yra lygūs. Taškinės sandaugos apibrėžimas apima tik kampo kosinusą, o ne jo išraiškos reikšmę. Tačiau savybės atsižvelgia tik į vieną kampą. Ir tai yra vienas iš dviejų kampų, kuris neviršija π , tai yra, 180 laipsnių. Paveiksle šis kampas pažymėtas kaip φ 1 .

1. Vadinami du vektoriai stačiakampis Ir kampas tarp šių vektorių yra tiesus (90 laipsnių arba π /2), jei šių vektorių skaliarinė sandauga lygi nuliui :

.

Ortogonalumas vektorių algebroje yra dviejų vektorių statmena.

2. Susidaro du nuliniai vektoriai aštrus kampas (nuo 0 iki 90 laipsnių arba, kas yra tas pats - mažiau π taškinis produktas yra teigiamas .

3. Susidaro du nuliniai vektoriai bukas kampas (nuo 90 iki 180 laipsnių arba, kas yra tas pats - daugiau π /2) tada ir tik tada, kai jie taškinis produktas yra neigiamas .

3 pavyzdys. Koordinatės pateikiamos vektoriais:

.

Apskaičiuokite visų pateiktų vektorių porų skaliarines sandaugas. Kokį kampą (smailų, dešinįjį, bukąjį) sudaro šios vektorių poros?

Sprendimas. Apskaičiuosime sudėję atitinkamų koordinačių sandaugas.

Gavome neigiamą skaičių, todėl vektoriai sudaro bukąjį kampą.

Gavome teigiamą skaičių, todėl vektoriai sudaro smailųjį kampą.

Gavome nulį, todėl vektoriai sudaro stačią kampą.

Gavome teigiamą skaičių, todėl vektoriai sudaro smailųjį kampą.

.

Gavome teigiamą skaičių, todėl vektoriai sudaro smailųjį kampą.

Savęs patikrinimui galite naudoti internetinis skaičiuotuvas Taškinė vektorių sandauga ir kampo tarp jų kosinusas .

4 pavyzdys. Atsižvelgiant į dviejų vektorių ilgius ir kampą tarp jų:

.

Nustatykite, kokia skaičiaus reikšme vektoriai ir yra stačiakampiai (statmenai).

Sprendimas. Padauginkime vektorius taikydami polinomų dauginimo taisyklę:

Dabar apskaičiuokime kiekvieną terminą:

.

Sukurkime lygtį (produktas lygus nuliui), pridėkime panašius terminus ir išspręskime lygtį:

Atsakymas: mes gavome vertę λ = 1,8, kai vektoriai yra stačiakampiai.

5 pavyzdys.Įrodykite, kad vektorius stačiakampis (statmenas) vektoriui

Sprendimas. Norėdami patikrinti ortogonalumą, padauginame vektorius ir kaip polinomus, vietoj to pakeisdami problemos teiginyje pateiktą išraišką:

.

Norėdami tai padaryti, turite padauginti kiekvieną pirmojo daugianario terminą (terminą) iš kiekvieno antrojo polinomo ir pridėti gautus produktus:

.

Gautame rezultate frakcija sumažinama. Gaunamas toks rezultatas:

Išvada: daugybos rezultate gavome nulį, todėl vektorių ortogonalumas (statmenumas) įrodytas.

Išspręskite problemą patys ir tada pamatykite sprendimą

6 pavyzdys. Pateikti vektorių ir ilgiai, o kampas tarp šių vektorių yra π /4 . Nustatykite, kokia verte μ vektoriai ir yra viena kitai statmenos.

Savęs patikrinimui galite naudoti internetinis skaičiuotuvas Taškinė vektorių sandauga ir kampo tarp jų kosinusas .

Vektorių taškinės sandaugos ir n-mačių vektorių sandaugos matricinis vaizdavimas

Kartais aiškumo dėlei naudinga pateikti du padaugintus vektorius matricų pavidalu. Tada pirmasis vektorius vaizduojamas kaip eilučių matrica, o antrasis - kaip stulpelių matrica:

Tada vektorių skaliarinė sandauga bus šių matricų sandauga :

Rezultatas yra toks pat, kaip ir gautas taikant mūsų jau svarstytą metodą. Gavome vieną skaičių, o eilutės matricos sandauga iš stulpelio matricos taip pat yra vienas skaičius.

Patogu abstrakčių n matmenų vektorių sandaugą pavaizduoti matricos forma. Taigi dviejų keturmačių vektorių sandauga bus keturių elementų eilučių matricos sandauga su stulpelio matrica, taip pat su keturiais elementais, dviejų penkiamačių vektorių sandauga bus eilučių matricos su penkiais elementais sandauga stulpelio matrica taip pat su penkiais elementais ir pan.

7 pavyzdys. Raskite vektorių porų skaliarines sandaugas

,

naudojant matricinį atvaizdavimą.

Sprendimas. Pirmoji vektorių pora. Pirmąjį vektorių pavaizduojame kaip eilučių matricą, o antrąjį – kaip stulpelių matricą. Šių vektorių skaliarinę sandaugą randame kaip eilutės matricos ir stulpelio matricos sandaugą:

Panašiai atstovaujame antrąją porą ir randame:

Kaip matote, rezultatai buvo tokie patys kaip ir tų pačių porų iš 2 pavyzdžio.

Kampas tarp dviejų vektorių

Kampo tarp dviejų vektorių kosinuso formulės išvedimas yra labai gražus ir glaustas.

Išreikšti vektorių taškinę sandaugą

(1)

koordinačių pavidalu pirmiausia randame vienetų vektorių skaliarinę sandaugą. Vektoriaus skaliarinė sandauga su savimi pagal apibrėžimą:

Tai, kas parašyta aukščiau esančioje formulėje, reiškia: vektoriaus skaliarinė sandauga su savimi yra lygi jo ilgio kvadratui. Nulio kosinusas yra lygus vienetui, todėl kiekvieno vieneto kvadratas bus lygus vienetui:

Kadangi vektoriai

yra poros statmenos, tada vienetų vektorių porinės sandaugos bus lygios nuliui:

Dabar atlikime vektorinių polinomų dauginimą:

Mes pakeičiame atitinkamų vienetų vektorių skaliarinių sandaugų reikšmes į dešinę lygybės pusę:

Gauname kampo tarp dviejų vektorių kosinuso formulę:

8 pavyzdys. Skiriami trys taškai A(1;1;1), B(2;2;1), C(2;1;2).

Raskite kampą.

Sprendimas. Raskite vektorių koordinates:

,

.

Naudodami kosinuso kampo formulę gauname:

Vadinasi,.

Savęs patikrinimui galite naudoti internetinis skaičiuotuvas Taškinė vektorių sandauga ir kampo tarp jų kosinusas .

9 pavyzdys. Pateikti du vektoriai

Raskite sumą, skirtumą, ilgį, taškų sandaugą ir kampą tarp jų.

2.Skirtumas

Taškinė vektorių sandauga

Mes ir toliau susiduriame su vektoriais. Pirmoje pamokoje Manekenų vektoriai Apžvelgėme vektoriaus sampratą, veiksmus su vektoriais, vektorių koordinates ir paprasčiausius vektorių uždavinius. Jei pirmą kartą atėjote į šį puslapį naudodami paieškos variklį, primygtinai rekomenduoju perskaityti aukščiau pateiktą įvadinį straipsnį, nes norint įsisavinti medžiagą, turite būti susipažinę su mano vartojamais terminais ir žymėjimais, turėti pagrindinių žinių apie vektorius ir sugebėti išspręsti pagrindines problemas. Ši pamoka yra logiškas temos tęsinys ir joje detaliai išanalizuosiu tipines užduotis, kuriose naudojama vektorių skaliarinė sandauga. Tai LABAI SVARBI veikla.. Stenkitės nepraleisti pavyzdžių; jie turi naudingą priedą – praktika padės konsoliduoti išnagrinėtą medžiagą ir geriau spręsti įprastas analitinės geometrijos problemas.

Vektorių sudėjimas, vektoriaus dauginimas iš skaičiaus.... Būtų naivu manyti, kad matematikai nieko kito nesugalvojo. Be jau aptartų veiksmų, yra keletas kitų operacijų su vektoriais, būtent: vektorių taškinė sandauga, vektorių sandauga Ir mišrus vektorių sandauga. Vektorių skaliarinė sandauga mums pažįstama iš mokyklos laikų, kiti du sandaugai tradiciškai priklauso aukštosios matematikos kursui. Temos paprastos, daugelio problemų sprendimo algoritmas paprastas ir suprantamas. Vienintelis dalykas. Informacijos yra pakankamai daug, todėl nepageidautina stengtis išmokti ir išspręsti VISKO IŠ karto. Tai ypač pasakytina apie manekenus; patikėkite manimi, autorius visiškai nenori jaustis kaip Chikatilo iš matematikos. Na, žinoma, irgi ne iš matematikos =) Labiau pasiruošę mokiniai gali naudoti medžiagas pasirinktinai, in tam tikra prasme, „gauk“ trūkstamas žinias, aš tau būsiu nekenksmingas grafas Drakula =)

Pagaliau atidarykime duris ir su entuziazmu stebėkime, kas nutinka, kai susitinka du vektoriai...

Vektorių skaliarinės sandaugos apibrėžimas.
Skaliarinio sandaugos savybės. Tipiškos užduotys

Taškinio produkto koncepcija

Pirmiausia apie kampas tarp vektorių. Manau, kad visi intuityviai supranta, koks yra kampas tarp vektorių, bet tik tuo atveju, šiek tiek detaliau. Panagrinėkime laisvuosius nulinius vektorius ir . Jei nubraižysite šiuos vektorius iš savavališko taško, gausite vaizdą, kurį daugelis jau įsivaizdavo mintyse:

Prisipažįstu, čia situaciją aprašiau tik supratimo lygmenyje. Jei jums reikia griežto kampo tarp vektorių apibrėžimo, skaitykite vadovėlį; dėl praktinių problemų iš esmės tai mums nenaudinga. Taip pat ČIA IR ČIA Vietomis ignoruosiu nulinius vektorius dėl jų mažos praktinės reikšmės. Išlygą padariau specialiai pažengusiems svetainės lankytojams, kurie gali priekaištauti dėl kai kurių vėlesnių teiginių teorinio neišsamumo.

Literatūroje kampo simbolis dažnai praleidžiamas ir tiesiog užrašomas.

Apibrėžimas: Dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra SKAIČIUS, lygus šių vektorių ilgių sandaugai ir kampo tarp jų kosinusui:

Dabar tai gana griežtas apibrėžimas.

Mes sutelkiame dėmesį į esminę informaciją:

Pavadinimas: skaliarinė sandauga žymima arba tiesiog.

Operacijos rezultatas yra SKAIČIUS: Vektorius padauginamas iš vektoriaus, o rezultatas yra skaičius. Iš tiesų, jei vektorių ilgiai yra skaičiai, kampo kosinusas yra skaičius, tada jų sandauga taip pat bus skaičius.

Tik keli apšilimo pavyzdžiai:

1 pavyzdys

Sprendimas: Mes naudojame formulę . Tokiu atveju:

Atsakymas:

Kosinuso reikšmes galima rasti trigonometrinė lentelė. Rekomenduoju atsispausdinti – jo prireiks beveik visose bokšto atkarpose ir prireiks daug kartų.

Grynai matematiniu požiūriu skaliarinė sandauga yra be matmenų, tai yra, rezultatas šiuo atveju yra tik skaičius ir viskas. Fizikos uždavinių požiūriu skaliarinė sandauga visada turi tam tikrą fizinę reikšmę, tai yra, po rezultato reikia nurodyti vieną ar kitą fizinį vienetą. Kanoninį jėgos darbo apskaičiavimo pavyzdį galima rasti bet kuriame vadovėlyje (formulė yra tiksliai skaliarinė sandauga). Jėgos darbas matuojamas džauliais, todėl atsakymas bus parašytas gana konkrečiai, pavyzdžiui, .

2 pavyzdys

Rasti, jei , o kampas tarp vektorių lygus .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Kampas tarp vektorių ir taško sandaugos vertės

1 pavyzdyje skaliarinė sandauga pasirodė esanti teigiama, o 2 pavyzdyje – neigiama. Išsiaiškinkime, nuo ko priklauso skaliarinės sandaugos ženklas. Pažvelkime į mūsų formulę: . Ne nulinių vektorių ilgiai visada yra teigiami: , todėl ženklas gali priklausyti tik nuo kosinuso reikšmės.

Pastaba: Norint geriau suprasti toliau pateiktą informaciją, geriau išstudijuoti vadove pateiktą kosinuso grafiką Funkcijų grafikai ir savybės. Pažiūrėkite, kaip kosinusas elgiasi segmente.

Kaip jau minėta, kampas tarp vektorių gali skirtis , ir galimi šie atvejai:

1) Jei kampas tarp vektorių aštrus: (nuo 0 iki 90 laipsnių), tada , Ir taškinis produktas bus teigiamas bendrai režisavo, tada kampas tarp jų laikomas nuliu, o skaliarinė sandauga taip pat bus teigiama. Kadangi formulė supaprastina: .

2) Jei kampas tarp vektorių bukas: (nuo 90 iki 180 laipsnių), tada ir atitinkamai, taškinis produktas yra neigiamas: . Ypatingas atvejis: jei vektoriai priešingomis kryptimis, tada atsižvelgiama į kampą tarp jų išplėstas: (180 laipsnių). Skaliarinis sandauga taip pat yra neigiama, nes

Priešingi teiginiai taip pat teisingi:

1) Jei , tada kampas tarp šių vektorių yra smailus. Arba vektoriai yra bendros krypties.

2) Jei , tada kampas tarp šių vektorių yra bukas. Arba vektoriai yra priešingomis kryptimis.

Tačiau trečiasis atvejis yra ypač įdomus:

3) Jei kampas tarp vektorių tiesiai: (90 laipsnių), tada skaliarinis sandauga yra nulis: . Ir atvirkščiai: jei , tada . Teiginį galima kompaktiškai suformuluoti taip: Dviejų vektorių skaliarinė sandauga yra lygi nuliui tada ir tik tada, kai vektoriai yra stačiakampiai. Trumpas matematinis užrašas:

! Pastaba : Pakartokime matematinės logikos pagrindai: Dvipusė loginės pasekmės piktograma paprastai skaitoma „jei ir tik tada“, „jei ir tik tada“. Kaip matote, rodyklės nukreiptos į abi puses - „iš to seka tai, ir atvirkščiai - iš to seka tai“. Beje, kuo skiriasi vienpusio sekimo piktograma? Piktograma teigia tik tai, kad, kad „iš to seka tai“, ir tai nėra faktas, kad yra priešingai. Pavyzdžiui: , bet ne kiekvienas gyvūnas yra pantera, todėl šiuo atveju negalite naudoti piktogramos. Tuo pačiu metu vietoj piktogramos Gali naudokite vienpusę piktogramą. Pavyzdžiui, spręsdami problemą sužinojome, kad padarėme išvadą, kad vektoriai yra stačiakampiai: - toks įrašas bus teisingas ir net tinkamesnis nei .

Trečiasis atvejis turi didelę praktinę reikšmę, nes leidžia patikrinti, ar vektoriai yra stačiakampiai, ar ne. Šią problemą išspręsime antroje pamokos dalyje.

Taškinio produkto savybės

Grįžkime prie situacijos, kai du vektoriai bendrai režisavo. Šiuo atveju kampas tarp jų lygus nuliui, o skaliarinės sandaugos formulė yra tokia: .

Kas atsitiks, jei vektorius padauginamas iš savęs? Akivaizdu, kad vektorius yra suderintas su savimi, todėl naudojame aukščiau pateiktą supaprastintą formulę:

Skambina numeriu skaliarinis kvadratas vektorius ir yra žymimi kaip .

Taigi, vektoriaus skaliarinis kvadratas lygus duoto vektoriaus ilgio kvadratui:

Iš šios lygybės galime gauti formulę vektoriaus ilgiui apskaičiuoti:

Kol kas atrodo neaišku, bet pamokos tikslai viską sustatys į savo vietas. Norėdami išspręsti problemas, kurių mums taip pat reikia taškinio produkto savybės.

Savavališkiems vektoriams ir bet kuriam skaičiui galioja šios savybės:

1) – komutacinė arba komutacinės skaliarinio produkto dėsnis.

2) – platinimas arba paskirstymo skaliarinio produkto dėsnis. Tiesiog galite atidaryti skliaustus.

3) – asociatyvinis arba asociatyvus skaliarinio produkto dėsnis. Konstanta gali būti gaunama iš skaliarinės sandaugos.

Dažnai visokias savybes (kurias irgi reikia įrodyti!) mokiniai suvokia kaip nereikalingą šiukšlę, kurią tereikia išmokti mintinai ir saugiai pamiršti iškart po egzamino. Atrodytų, kas čia svarbu, visi jau nuo pirmos klasės žino, kad faktorių pertvarkymas prekės nekeičia: . Turiu jus perspėti, kad aukštojoje matematikoje taikant tokį požiūrį lengva viską sujaukti. Taigi, pavyzdžiui, komutacinė savybė nėra teisinga algebrinės matricos. Tai taip pat netiesa vektorių sandauga. Todėl bent jau geriau įsigilinti į bet kokias savybes, su kuriomis susiduriate aukštojo matematikos kurse, kad suprastumėte, ką galite ir ko ne.

3 pavyzdys

.

Sprendimas: Pirmiausia išsiaiškinkime situaciją su vektoriumi. Kas tai vis dėlto? Vektorių suma yra tiksliai apibrėžtas vektorius, kuris žymimas . Straipsnyje rasite geometrinį veiksmų su vektoriais interpretaciją Manekenų vektoriai. Ta pati petražolė su vektoriumi yra vektorių ir suma.

Taigi, pagal sąlygą, reikia rasti skaliarinį sandaugą. Teoriškai reikia taikyti darbo formulę , bet bėda ta, kad nežinome vektorių ilgių ir kampo tarp jų. Tačiau sąlyga suteikia panašius vektorių parametrus, todėl pasirinksime kitą maršrutą:

(1) Pakeiskite vektorių išraiškas.

(2) Mes atidarome skliaustus pagal daugianario daugybos taisyklę; straipsnyje galite rasti vulgarų liežuvio sukimą Sudėtingi skaičiai arba Trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas. Nesikartosiu =) Beje, skaliarinio sandaugos paskirstymo savybė leidžia atverti skliaustus. Mes turime teisę.

(3) Pirmajame ir paskutiniame termine kompaktiškai užrašome vektorių skaliarinius kvadratus: . Antrame dėinyje naudojame skaliarinio sandaugos pakeičiamumą: .

(4) Pateikiame panašius terminus: .

(5) Pirmajame termine naudojame skaliarinio kvadrato formulę, kuri buvo paminėta ne taip seniai. Atitinkamai, paskutiniame termine veikia tas pats: . Antrąjį terminą išplečiame pagal standartinę formulę .

(6) Pakeiskite šias sąlygas , ir ATSARGIAI atlikite galutinius skaičiavimus.

Atsakymas:

Neigiama skaliarinės sandaugos reikšmė rodo, kad kampas tarp vektorių yra bukas.

Problema yra tipiška, čia yra pavyzdys, kaip ją išspręsti patiems:

4 pavyzdys

Raskite vektorių skaliarinę sandaugą ir jei tai žinoma .

Dabar dar viena įprasta užduotis, skirta tik naujai vektoriaus ilgio formulei. Žymėjimas čia šiek tiek sutampa, todėl aiškumo dėlei perrašysiu jį kita raide:

5 pavyzdys

Raskite vektoriaus ilgį, jei .

Sprendimas bus taip:

(1) Pateikiame vektoriaus išraišką.

(2) Mes naudojame ilgio formulę: , o visa išraiška ve veikia kaip vektorius „ve“.

(3) Sumos kvadratui naudojame mokyklos formulę. Atkreipkite dėmesį, kaip čia tai veikia keistai: – iš tikrųjų tai yra skirtumo kvadratas, o iš tikrųjų taip ir yra. Norintys gali pertvarkyti vektorius: - atsitinka tas pats, iki terminų pertvarkymo.

(4) Tai, kas toliau pateikiama, jau žinoma iš dviejų ankstesnių problemų.

Atsakymas:

Kadangi kalbame apie ilgį, nepamirškite nurodyti matmens - „vienetai“.

6 pavyzdys

Raskite vektoriaus ilgį, jei .

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Mes ir toliau spaudžiame naudingus dalykus iš taškinio produkto. Dar kartą pažvelkime į savo formulę . Naudodamiesi proporcingumo taisykle, iš naujo nustatome vektorių ilgius į kairės pusės vardiklį:

Sukeiskime dalis:

Kokia šios formulės prasmė? Jei žinomi dviejų vektorių ilgiai ir jų skaliarinė sandauga, tada galima apskaičiuoti kampo tarp šių vektorių kosinusą, taigi ir patį kampą.

Ar taškinis produktas yra skaičius? Skaičius. Ar vektorių ilgiai yra skaičiai? Skaičiai. Tai reiškia, kad trupmena taip pat yra skaičius. Ir jei žinomas kampo kosinusas: , tada naudojant atvirkštinę funkciją lengva rasti patį kampą: .

7 pavyzdys

Raskite kampą tarp vektorių ir jei žinoma, kad .

Sprendimas: Mes naudojame formulę:

Paskutiniame skaičiavimo etape buvo naudojama techninė technika - vardiklyje buvo pašalintas neracionalumas. Siekdamas pašalinti neracionalumą, skaitiklį ir vardiklį padauginau iš .

Taigi, jei , Tai:

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų reikšmes galima rasti pagal trigonometrinė lentelė. Nors tai nutinka retai. Analitinės geometrijos uždaviniuose daug dažniau koks gremėzdiškas lokys mėgsta , o kampo reikšmę reikia apytiksliai rasti naudojant skaičiuotuvą. Tiesą sakant, tokį vaizdą matysime dar ne kartą.

Atsakymas:

Vėlgi, nepamirškite nurodyti matmenų – radianų ir laipsnių. Asmeniškai, norėdamas akivaizdžiai „išspręsti visus klausimus“, man labiau patinka nurodyti abu (nebent sąlyga, žinoma, reikalauja pateikti atsakymą tik radianais arba tik laipsniais).

Dabar galite savarankiškai susidoroti su sudėtingesne užduotimi:

7 pavyzdys*

Pateikti vektorių ilgiai ir kampas tarp jų. Raskite kampą tarp vektorių , .

Užduotis ne tiek sudėtinga, kiek daugiapakopė.
Pažvelkime į sprendimo algoritmą:

1) Pagal sąlygą reikia rasti kampą tarp vektorių ir , todėl reikia naudoti formulę .

2) Raskite skaliarinę sandaugą (žr. pavyzdžius Nr. 3, 4).

3) Raskite vektoriaus ilgį ir vektoriaus ilgį (žr. pavyzdžius Nr. 5, 6).

4) Sprendimo pabaiga sutampa su 7 pavyzdžiu – mes žinome skaičių , o tai reiškia, kad lengva rasti patį kampą:

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Antroji pamokos dalis skirta tai pačiai skaliarinei sandaugai. Koordinatės. Tai bus dar lengviau nei pirmoje dalyje.

Taškinė vektorių sandauga,
pateiktos koordinatėmis ortonormaliu pagrindu

Atsakymas:

Savaime suprantama, tvarkytis su koordinatėmis yra daug maloniau.

14 pavyzdys

Raskite vektorių skaliarinę sandaugą ir jei

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Čia galite naudoti operacijos asociatyvumą, ty neskaičiuoti , o iš karto paimti trigubą už skaliarinės sandaugos ir padauginti iš paskutinio. Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Skyriaus pabaigoje – provokuojantis vektoriaus ilgio skaičiavimo pavyzdys:

15 pavyzdys

Raskite vektorių ilgius , Jei

Sprendimas: Ankstesnio skyriaus metodas vėl siūlo save: bet yra ir kitas būdas:

Raskime vektorių:

O jo ilgis pagal trivialią formulę :

Taškinis produktas čia visai neaktualus!

Taip pat nenaudinga skaičiuojant vektoriaus ilgį:
Sustabdyti. Ar neturėtume pasinaudoti akivaizdžia vektoriaus ilgio savybe? Ką galite pasakyti apie vektoriaus ilgį? Šis vektorius yra 5 kartus ilgesnis už vektorių. Kryptis priešinga, bet tai nesvarbu, nes kalbame apie ilgį. Akivaizdu, kad vektoriaus ilgis yra lygus sandaugai modulis skaičiai vienam vektoriaus ilgiui:
– modulio ženklas „suvalgo“ galimą skaičiaus minusą.

Taigi:

Atsakymas:

Kampo tarp vektorių, nurodytų koordinatėmis, kosinuso formulė

dabar turime visa informacija kad anksčiau gautą kampo tarp vektorių kosinuso formulę būtų galima išreikšti vektorių koordinatėmis:

Kampo tarp plokštumos vektorių kosinusas ir , nurodyta ortonormaliu pagrindu, išreikšta formule:
.

Kampo tarp erdvės vektorių kosinusas, nurodyta ortonormaliu pagrindu, išreikšta formule:

16 pavyzdys

Duotos trys trikampio viršūnės. Rasti (viršūnės kampas).

Sprendimas: Pagal sąlygas brėžinys nereikalingas, bet vis tiek:

Reikalingas kampas pažymėtas žaliu lanku. Iš karto prisiminkime mokyklos kampo žymėjimą: – ypatingas dėmesys vidutinis raidė - tai mums reikalingo kampo viršūnė. Dėl trumpumo taip pat galite parašyti tiesiog .

Iš brėžinio visiškai akivaizdu, kad trikampio kampas sutampa su kampu tarp vektorių ir, kitaip tariant: .

Patartina išmokti mintyse atlikti analizę.

Raskime vektorius:

Apskaičiuokime skaliarinį sandaugą:

Ir vektorių ilgiai:

Kampo kosinusas:

Būtent tokia užduoties atlikimo tvarka rekomenduoju manekenams. Labiau pažengę skaitytojai gali parašyti skaičiavimus „vienoje eilutėje“:

Štai „blogos“ kosinuso reikšmės pavyzdys. Gauta reikšmė nėra galutinė, todėl vardiklyje nėra prasmės atsikratyti neracionalumo.

Raskime patį kampą:

Jei pažvelgsite į piešinį, rezultatas yra gana tikėtinas. Norėdami patikrinti, kampą taip pat galima išmatuoti su transporteriu. Nepažeiskite monitoriaus dangtelio =)

Atsakymas:

Atsakydami to nepamirštame paklausė apie trikampio kampą(o ne apie kampą tarp vektorių), nepamirškite nurodyti tikslaus atsakymo: ir apytikslės kampo vertės: , rasta naudojant skaičiuotuvą.

Tie, kuriems šis procesas patiko, gali apskaičiuoti kampus ir patikrinti kanoninės lygybės pagrįstumą

17 pavyzdys

Trikampis erdvėje apibrėžiamas jo viršūnių koordinatėmis. Raskite kampą tarp kraštinių ir

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje

Trumpa paskutinė dalis bus skirta projekcijoms, kurios taip pat apima skaliarinį sandaugą:

Vektoriaus projekcija į vektorių. Vektoriaus projekcija į koordinačių ašis.
Vektoriaus krypties kosinusai

Apsvarstykite vektorius ir:

Projektuokime vektorių į vektorių; norėdami tai padaryti, praleidžiame nuo vektoriaus pradžios ir pabaigos statmenaiį vektorių (žalios punktyrinės linijos). Įsivaizduokite, kad šviesos spinduliai krinta statmenai į vektorių. Tada segmentas (raudona linija) bus vektoriaus „šešėlis“. Šiuo atveju vektoriaus projekcija į vektorių yra atkarpos ILGIS. Tai yra, PROJEKTIJA YRA SKAIČIUS.

Šis SKAIČIUS žymimas taip: , „didelis vektorius“ reiškia vektorių KURI projektas, „mažas indekso vektorius“ reiškia vektorių ĮJUNGTA kuri yra prognozuojama.

Pats įrašas skamba taip: „vektoriaus „a“ projekcija į vektorių „būti“.

Kas atsitiks, jei vektorius „būti“ yra „per trumpas“? Nubrėžiame tiesią liniją, kurioje yra vektorius „būti“. Ir vektorius "a" jau bus suprojektuotas vektoriaus "būti" kryptimi, tiesiog - į tiesę, kurioje yra vektorius „be“. Tas pats atsitiks, jei vektorius „a“ bus atidėtas trisdešimtoje karalystėje - jis vis tiek bus lengvai projektuojamas ant tiesės, kurioje yra vektorius „būti“.

Jei kampas tarp vektorių aštrus(kaip nuotraukoje), tada

Jei vektoriai stačiakampis, tada (projekcija yra taškas, kurio matmenys laikomi nuliu).

Jei kampas tarp vektorių bukas(paveiksle mintyse pertvarkykite vektorinę rodyklę), tada (toks pat ilgis, bet paimtas su minuso ženklu).

Nubraižykime šiuos vektorius iš vieno taško:

Akivaizdu, kad vektoriui judant, jo projekcija nesikeičia