Kampas tarp vektorių

Kad galėtume pristatyti dviejų vektorių vektorinės sandaugos sąvoką, pirmiausia turime suprasti tokią sąvoką kaip kampas tarp šių vektorių.

Duokime du vektorius $\overline(α)$ ir $\overline(β)$. Paimkime tam tikrą erdvės tašką $O$ ir iš jo nubraižykime vektorius $\overline(α)=\overline(OA)$ ir $\overline(β)=\overline(OB)$, tada kampą $AOB$ bus vadinamas kampu tarp šių vektorių (1 pav.).

Žymėjimas: $∠(\overline(α),\overline(β))$

Vektorių sandaugos samprata ir radimo formulė

1 apibrėžimas

Dviejų vektorių vektorinė sandauga yra vektorius, statmenas abiem duotiesiems vektoriams, o jo ilgis bus lygus šių vektorių ilgių sandaugai su kampo tarp šių vektorių sinusu, taip pat šis vektorius su dviem pradiniais turi ta pati orientacija kaip ir Dekarto koordinačių sistema.

Žymėjimas: $\overline(α)х\overline(β)$.

Matematiškai tai atrodo taip:

1. $|\overline(α)х\overline(β)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin⁡∠(\overline(α),\overline(β))$
2. $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(α)$, $\overline(α)х\overline(β)⊥\overline(β)$
3. $(\overline(α)х\overline(β),\overline(α),\overline(β))$ ir $(\overline(i),\overline(j),\overline(k))$ yra ta pati orientuota (2 pav.)

Akivaizdu, kad išorinė vektorių sandauga bus lygi nuliniam vektoriui dviem atvejais:

1. Jei vieno ar abiejų vektorių ilgis lygus nuliui.
2. Jei kampas tarp šių vektorių yra lygus $180^\circ$ arba $0^\circ$ (kadangi šiuo atveju sinusas lygus nuliui).

Norėdami aiškiai pamatyti, kaip randama vektorių sandauga, apsvarstykite šiuos sprendimų pavyzdžius.

1 pavyzdys

Raskite vektoriaus $\overline(δ)$ ilgį, kuris bus vektorių sandaugos rezultatas su koordinatėmis $\overline(α)=(0,4,0)$ ir $\overline(β) =(3,0,0 )$.

Sprendimas.

Pavaizduokime šiuos vektorius Dekarto koordinačių erdvėje (3 pav.):

3 pav. Vektoriai Dekarto koordinačių erdvėje. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais

Matome, kad šie vektoriai yra atitinkamai $Ox$ ir $Oy$ ašyse. Todėl kampas tarp jų bus $90^\circ$. Raskime šių vektorių ilgius:

$|\overline(α)|=\sqrt(0+16+0)=4$

$|\overline(β)|=\sqrt(9+0+0)=3$

Tada pagal 1 apibrėžimą gauname modulį $|\overline(δ)|$

$|\overline(δ)|=|\overline(α)||\overline(β)|sin90^\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Atsakymas: 12 USD.

Kryžminės sandaugos apskaičiavimas iš vektorinių koordinačių

1 apibrėžimas iš karto reiškia dviejų vektorių vektorinės sandaugos radimo metodą. Kadangi vektorius, be savo vertės, turi ir kryptį, jo neįmanoma rasti naudojant tik skaliarinį dydį. Tačiau be to, yra būdas rasti mums pateiktus vektorius naudojant koordinates.

Pateikiame vektorius $\overline(α)$ ir $\overline(β)$, kurie turės atitinkamai $(α_1,α_2,α_3)$ ir $(β_1,β_2,β_3)$ koordinates. Tada kryžminės sandaugos vektorių (būtent jo koordinates) galima rasti naudojant šią formulę:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end(vmatrix)$

Priešingu atveju, išplėtę determinantą, gauname tokias koordinates

$\overline(α)х\overline(β)=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

2 pavyzdys

Raskite kolinearinių vektorių $\overline(α)$ ir $\overline(β)$, kurių koordinatės $(0,3,3)$ ir $(-1,2,6)$, vektorinės sandaugos vektorių.

Sprendimas.

Naudokime aukščiau pateiktą formulę. Mes gauname

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\0&3&3\\-1&2&6\end(vmatrix)=(18) -6)\overline(i)-(0+3)\overline(j)+(0+3)\overline(k)=12\overline(i)-3\overline(j)+3\overline(k) )=(12,-3,3)$

Atsakymas: $(12,-3,3)$.

Vektorių vektorinės sandaugos savybės

Savavališkai sumaišytiems trims vektoriams $\overline(α)$, $\overline(β)$ ir $\overline(γ)$, taip pat $r∈R$ galioja šios savybės:

3 pavyzdys

Raskite lygiagretainio plotą, kurio viršūnių koordinatės $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ ir $(3,8,0) $.

Sprendimas.

Pirmiausia pavaizduokime šį lygiagretainį koordinačių erdvėje (5 pav.):

5 pav. Lygiagretainė koordinačių erdvėje. Autorius24 – internetinis keitimasis studentų darbais

Matome, kad dvi šio lygiagretainio kraštinės yra sudarytos naudojant kolinearinius vektorius, kurių koordinatės $\overline(α)=(3,0,0)$ ir $\overline(β)=(0,8,0)$. Naudodami ketvirtąją savybę gauname:

$S=|\overline(α)х\overline(β)|$

Raskime vektorių $\overline(α)х\overline(β)$:

$\overline(α)х\overline(β)=\begin(vmatrix)\overline(i)&\overline(j)&\overline(k)\\3&0&0\\0&8&0\end(vmatrix)=0\overline (i)-0\overline(j)+24\overline(k)=(0,0,24)$

Vadinasi

$S=|\overline(α)х\overline(β)|=\sqrt(0+0+24^2)=24$

Šioje pamokoje apžvelgsime dar dvi operacijas su vektoriais: vektorių sandauga Ir mišrus vektorių sandauga (Tiesioginė nuoroda tiems, kam to reikia). Viskas gerai, kartais nutinka taip, kad dėl visiškos laimės, be to vektorių skaliarinė sandauga, reikia vis daugiau. Tai yra vektorinė priklausomybė. Gali atrodyti, kad patenkame į analitinės geometrijos džiungles. Tai yra blogai. Šioje aukštosios matematikos dalyje paprastai yra mažai medienos, išskyrus galbūt pakankamai Pinokiui. Tiesą sakant, medžiaga yra labai paplitusi ir paprasta - vargu ar sudėtingesnė nei ta pati skaliarinis produktas, bus dar mažiau tipinių užduočių. Pagrindinis dalykas analitinėje geometrijoje, kaip daugelis įsitikins arba jau įsitikino, yra NEDARYTI SKAIČIAVIMO KLAIDŲ. Kartokite kaip burtažodį ir būsite laimingi =)

Jei vektoriai kibirkščiuoja kažkur toli, kaip žaibas horizonte, tai nesvarbu, pradėkite nuo pamokos Manekenų vektoriai atkurti arba iš naujo įgyti pagrindines žinias apie vektorius. Labiau pasiruošę skaitytojai gali susipažinti su informacija pasirinktinai, stengiausi surinkti kuo išsamesnį pavyzdžių rinkinį, kurį dažnai galima rasti praktinis darbas

Kas jus iškart pradžiugins? Kai buvau mažas, galėjau žongliruoti dviem ar net trimis kamuoliais. Tai pavyko gerai. Dabar jums visai nereikės žongliruoti, nes mes svarstysime tik erdviniai vektoriai, o plokštieji vektoriai su dviem koordinatėmis bus palikti. Kodėl? Taip gimė šie veiksmai – vektorius ir mišrus vektorių sandauga yra apibrėžti ir veikia trimatėje erdvėje. Tai jau lengviau!

Ši operacija, kaip ir skaliarinis sandauga, apima du vektoriai. Tebūnie tai neišnykstantys laiškai.

Pats veiksmas žymimas tokiu būdu: . Yra ir kitų variantų, bet aš įpratęs vektorių sandaugą žymėti tokiu būdu, laužtiniuose skliaustuose su kryželiu.

Ir iš karto klausimas: jei yra vektorių skaliarinė sandauga dalyvauja du vektoriai, o čia taip pat padauginami du vektoriai, tada koks skirtumas? Akivaizdus skirtumas visų pirma yra REZULTATAS:

Vektorių skaliarinės sandaugos rezultatas yra SKAIČIUS:

Kryžminės vektorių sandaugos rezultatas yra VECTOR: , tai yra, vektorius padauginame ir vėl gauname vektorių. Uždaras klubas. Tiesą sakant, iš čia ir kilęs operacijos pavadinimas. Įvairiose mokomoji literatūra pavadinimai taip pat gali skirtis, naudosiu raidę .

Kryžminio produkto apibrėžimas

Pirmiausia bus apibrėžimas su nuotrauka, tada komentarai.

Apibrėžimas: Vektorinis produktas nekolinearinis vektoriai, paimta tokia tvarka, vadinamas VECTOR, ilgio kuris yra skaitinis lygus lygiagretainio plotui, sukurta remiantis šiais vektoriais; vektorius statmenas vektoriams, ir yra nukreiptas taip, kad pagrindas būtų teisingas:

Išskaidykime apibrėžimą, čia yra daug įdomių dalykų!

Taigi, galima išskirti šiuos svarbius dalykus:

1) Pradiniai vektoriai, pažymėti raudonomis rodyklėmis, pagal apibrėžimą ne kolinearinis. Kolinearinių vektorių atvejį tikslinga apsvarstyti šiek tiek vėliau.

2) Imami vektoriai griežtai nustatyta tvarka: – "a" padauginamas iš "būti", o ne „būk“ su „a“. Vektoriaus daugybos rezultatas yra VECTOR, kuris pažymėtas mėlyna spalva. Jei vektoriai dauginami atvirkštine tvarka, gauname vienodo ilgio ir priešingos krypties vektorių (avietinės spalvos). Tai yra, lygybė yra tiesa .

3) Dabar susipažinkime su vektorinės sandaugos geometrine reikšme. Tai labai svarbus momentas! Mėlynojo vektoriaus ILGIS (taigi ir tamsiai raudonos spalvos vektoriaus) yra skaitine prasme lygus lygiagretainio, sudaryto ant vektorių, PLOTUI. Paveiksle šis lygiagretainis nuspalvintas juodai.

Pastaba : brėžinys yra schematiškas, ir, žinoma, vardinis vektorinės sandaugos ilgis nėra lygus lygiagretainio plotui.

Prisiminkime vieną iš geometrinių formulių: Lygiagretainio plotas lygus gretimų kraštinių sandaugai ir kampo tarp jų sinusui. Todėl, remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, galioja vektoriaus sandaugos ILGIO apskaičiavimo formulė:

Pabrėžiu, kad formulė yra apie vektoriaus ILGĮ, o ne apie patį vektorių. Kokia praktinė prasmė? O prasmė ta, kad analitinės geometrijos problemose lygiagretainio plotas dažnai randamas naudojant vektorinės sandaugos sąvoką:

Gaukime antrąją svarbią formulę. Lygiagretainio įstrižainė (raudona punktyrinė linija) padalija jį į du vienodus trikampius. Todėl trikampio, pastatyto ant vektorių, plotą (raudonas atspalvis) galima rasti naudojant formulę:

4) Ne mažiau svarbus faktas yra tas, kad vektorius yra statmenas vektoriams, tai yra . Žinoma, priešingos krypties vektorius (avietės rodyklė) taip pat yra statmenas pirminiams vektoriams.

5) Vektorius nukreiptas taip pagrindu Tai turi teisingai orientacija. Pamokoje apie pereiti prie naujo pagrindo Kalbėjau pakankamai išsamiai plokštumos orientacija, o dabar išsiaiškinsime, kas yra erdvės orientacija. Paaiškinsiu ant pirštų dešinė ranka. Psichiškai derinkite smiliumi su vektoriumi ir vidurinis pirštas su vektoriumi. Bevardis pirštas ir mažasis pirštas paspauskite jį į delną. Kaip rezultatas nykštys– vektorinė sandauga atrodys aukštyn. Tai yra į dešinę orientuotas pagrindas (paveikslėlyje yra šis). Dabar pakeiskite vektorius ( rodomieji ir viduriniai pirštai) kai kuriose vietose, todėl nykštys apsisuks, o vektorinė sandauga jau žiūrės žemyn. Tai taip pat yra į dešinę orientuotas pagrindas. Jums gali kilti klausimas: kuris pagrindas turi kairiąją orientaciją? „Priskirti“ tiems patiems pirštams kairiarankis vektorius ir gaukite kairįjį pagrindą bei kairę erdvės orientaciją (šiuo atveju nykštis bus apatinio vektoriaus kryptimi). Vaizdžiai tariant, šios bazės „suka“ arba orientuoja erdvę įvairiomis kryptimis. Ir šios sąvokos nereikėtų laikyti kažkuo nutolusia ar abstrakčia - pavyzdžiui, erdvės orientaciją keičia įprasčiausias veidrodis, o jei „ištrauki atspindėtą objektą iš žiūrinčiojo stiklo“, tai apskritai nebus įmanoma derinti su „originalu“. Beje, pakelkite tris pirštus prie veidrodžio ir analizuokite atspindį ;-)

...kaip gerai, kad dabar apie tai žinai orientuota į dešinę ir į kairę pagrindus, nes kai kurių dėstytojų pasisakymai apie orientacijos pasikeitimą gąsdina =)

Kolinearinių vektorių kryžminė sandauga

Apibrėžimas buvo išsamiai aptartas, belieka išsiaiškinti, kas atsitinka, kai vektoriai yra kolineariniai. Jei vektoriai yra kolinearūs, tada jie gali būti išdėstyti vienoje tiesėje, o mūsų lygiagretainis taip pat „susilenkia“ į vieną tiesią liniją. Tokių sričių, kaip sako matematikai, išsigimęs lygiagretainis lygus nuliui. Tas pats išplaukia ir iš formulės – nulio arba 180 laipsnių sinusas lygus nuliui, vadinasi, plotas lygus nuliui

Taigi, jei , tada Ir . Atkreipkite dėmesį, kad pats vektorinis sandauga yra lygus nuliniam vektoriui, tačiau praktikoje to dažnai nepaisoma ir rašoma, kad jis taip pat lygus nuliui.

Ypatingas atvejis yra vektoriaus sandauga su savimi:

Naudodami vektorių sandaugą galite patikrinti trimačių vektorių kolineariškumą, be kita ko, mes taip pat išanalizuosime šią problemą.

Norint išspręsti praktinius pavyzdžius, gali prireikti trigonometrinė lentelė iš jo rasti sinusų reikšmes.

Na, užkurkime ugnį:

1 pavyzdys

a) Raskite vektorių sandaugos ilgį, jei

b) Raskite lygiagretainio, pastatyto ant vektorių, plotą, jei

Sprendimas: Ne, tai nėra rašybos klaida, aš sąmoningai sudariau tokius pat pradinius duomenis. Nes sprendimų dizainas bus kitoks!

a) Pagal sąlygą reikia rasti ilgio vektorius (kryžminis produktas). Pagal atitinkamą formulę:

Atsakymas:

Jei jūsų paklausė apie ilgį, tada atsakyme nurodome matmenį - vienetus.

b) Pagal sąlygą reikia rasti kvadratas lygiagretainis, pastatytas ant vektorių. Šio lygiagretainio plotas yra skaitiniu būdu lygus vektorinės sandaugos ilgiui:

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad atsakyme visai nekalbama apie vektorinį sandaugą; mūsų buvo paklausta apie tai figūros plotas, atitinkamai matmuo yra kvadratiniai vienetai.

Visada žiūrime, KĄ turime rasti pagal būklę, ir pagal tai formuluojame aišku atsakyti. Gali atrodyti, kad tai yra pažodiškumas, tačiau tarp mokytojų yra daug literatų, ir yra didelė tikimybė, kad užduotis bus grąžinta peržiūrėti. Nors tai ir nėra itin toli užkliuvęs pokštas – jei atsakymas neteisingas, susidaro įspūdis, kad žmogus nesupranta paprastų dalykų ir/arba nesuprato užduoties esmės. Šis taškas visada turi būti kontroliuojamas sprendžiant aukštosios matematikos ir kitų dalykų uždavinius.

Kur dingo didžioji raidė „en“? Iš principo jį buvo galima papildomai pritvirtinti prie sprendimo, bet norėdamas sutrumpinti įrašą to nepadariau. Tikiuosi, kad visi tai supranta ir reiškia tą patį.

Populiarus „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys:

2 pavyzdys

Raskite trikampio, pastatyto ant vektorių, plotą, jei

Formulė, kaip rasti trikampio plotą per vektorinį sandaugą, pateikta apibrėžimo komentaruose. Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Praktiškai užduotis yra labai dažna; trikampiai paprastai gali jus kankinti.

Norėdami išspręsti kitas problemas, mums reikės:

Vektorių vektorinės sandaugos savybės

Mes jau apsvarstėme kai kurias vektorinio produkto savybes, tačiau įtrauksiu jas į šį sąrašą.

Savavališkiems vektoriams ir savavališkam skaičiui galioja šios savybės:

1) Kituose informacijos šaltiniuose šis elementas paprastai nėra paryškintas savybėse, tačiau jis yra labai svarbus praktiniu požiūriu. Taigi tegul būna.

2) – turtas taip pat aptartas aukščiau, kartais jis vadinamas antikomutatyvumas. Kitaip tariant, vektorių tvarka yra svarbi.

3) – asociatyvinis arba asociatyvus vektorinės sandaugos dėsniai. Konstantos gali būti lengvai perkeltos už vektorinės sandaugos ribų. Tikrai, ką jie ten turėtų daryti?

4) – paskirstymas arba paskirstymo vektorinių sandaugų dėsniai. Taip pat nėra problemų atidarant laikiklius.

Norėdami parodyti, pažvelkime į trumpą pavyzdį:

3 pavyzdys

Rasti, jei

Sprendimas: Sąlyga vėlgi reikalauja rasti vektorinės sandaugos ilgį. Nupieškime savo miniatiūrą:

(1) Pagal asociatyvinius dėsnius konstantas laikome už vektorinės sandaugos ribų.

(2) Konstantą perkeliame už modulio ribų, o modulis „suvalgo“ minuso ženklą. Ilgis negali būti neigiamas.

(3) Likusi dalis aišku.

Atsakymas:

Atėjo laikas į ugnį įpilti daugiau malkų:

4 pavyzdys

Apskaičiuokite vektoriais pastatyto trikampio plotą, jei

Sprendimas: Raskite trikampio plotą naudodami formulę . Svarbiausia, kad vektoriai „tse“ ir „de“ pateikiami kaip vektorių sumos. Algoritmas čia yra standartinis ir šiek tiek primena pamokos 3 ir 4 pavyzdžius Taškinė vektorių sandauga. Aiškumo dėlei sprendimą suskirstysime į tris etapus:

1) Pirmajame etape vektorinį sandaugą išreiškiame per vektorinį sandaugą, iš tikrųjų, vektorių išreikškime vektoriumi. Apie ilgį dar nėra žodžio!

(1) Pakeiskite vektorių išraiškas.

(2) Naudodamiesi paskirstymo dėsniais, skliaustus atveriame pagal daugianario daugybos taisyklę.

(3) Naudodamiesi asociatyviniais dėsniais, visas konstantas perkeliame už vektorinių sandaugų. Turint šiek tiek patirties, 2 ir 3 veiksmus galima atlikti vienu metu.

(4) Pirmasis ir paskutinis nariai yra lygūs nuliui (nulis vektorius) dėl gražios savybės. Antrame termine mes naudojame vektorinio sandaugos antikomutatyvumo savybę:

(5) Pateikiame panašias sąlygas.

Dėl to vektorius buvo išreikštas vektoriumi, kurį reikėjo pasiekti:

2) Antrame žingsnyje randame mums reikalingos vektorinės sandaugos ilgį. Šis veiksmas panašus į 3 pavyzdį:

3) Raskite reikiamo trikampio plotą:

2-3 sprendimo etapai galėjo būti parašyti vienoje eilutėje.

Atsakymas:

Nagrinėjama problema yra gana dažna bandymai, čia yra nepriklausomo sprendimo pavyzdys:

5 pavyzdys

Rasti, jei

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje. Pažiūrėkime, koks buvote dėmesingas tyrinėdamas ankstesnius pavyzdžius ;-)

Kryžminė vektorių sandauga koordinatėse

Formulė tikrai paprasta: viršutinėje determinanto eilutėje rašome koordinačių vektorius, antroje ir trečioje eilutėse „įdedame“ ​​vektorių koordinates ir dedame griežta tvarka– pirmiausia „ve“ vektoriaus koordinatės, tada „dvigubo ve“ vektoriaus koordinatės. Jei vektorius reikia padauginti kita tvarka, tada eilutes reikia sukeisti:

10 pavyzdys

Patikrinkite, ar šie erdvės vektoriai yra kolinearūs:
A)
b)

Sprendimas: Patikrinimas pagrįstas vienu iš šios pamokos teiginių: jei vektoriai yra kolinearūs, tada jų vektorinė sandauga yra lygi nuliui (nulis vektorius): .

a) Raskite vektorinę sandaugą:

Taigi vektoriai nėra kolineariniai.

b) Raskite vektorinę sandaugą:

Atsakymas a) ne kolinearinis, b)

Čia, ko gero, yra visa pagrindinė informacija apie vektorių sandaugą.

Ši sekcija nebus labai didelė, nes yra keletas problemų, kai naudojamas vektorių mišrus sandauga. Tiesą sakant, viskas priklausys nuo apibrėžimo, geometrinės reikšmės ir poros darbo formulių.

Mišrus vektorių sandauga yra trijų vektorių sandauga:

Taigi jie išsirikiavo kaip traukinys ir nekantrauja, kol bus identifikuoti.

Pirma, vėl apibrėžimas ir paveikslėlis:

Apibrėžimas: Mišrus darbas ne lygiagrečiai vektoriai, paimta tokia tvarka, paskambino gretasienio tūrio, pastatytas ant šių vektorių, turintis „+“ ženklą, jei pagrindas yra teisingas, ir „–“ ženklą, jei pagrindas yra kairysis.

Padarykime piešinį. Mums nematomos linijos brėžiamos punktyrinėmis linijomis:

Pasinerkime į apibrėžimą:

2) Imami vektoriai tam tikra tvarka, tai yra, vektorių persirikiavimas sandaugoje, kaip galima spėti, neįvyksta be pasekmių.

3) Prieš komentuodamas geometrinę reikšmę, atkreipsiu dėmesį į akivaizdų faktą: vektorių mišrus sandauga yra SKAIČIUS: . Mokomojoje literatūroje dizainas gali šiek tiek skirtis, aš įpratęs mišrų gaminį žymėti , o skaičiavimų rezultatą – raide „pe“.

A-prioras mišrusis produktas – gretasienio tūris, pastatytas ant vektorių (figūra nupiešta raudonais vektoriais ir juodomis linijomis). Tai yra, skaičius lygus tam tikro gretasienio tūriui.

Pastaba : Brėžinys schematiškas.

4) Vėl nesijaudinkime dėl pagrindo ir erdvės orientacijos sampratos. Paskutinės dalies prasmė ta, kad prie tomo galima pridėti minuso ženklą. Paprastais žodžiais, mišrus produktas gali būti neigiamas: .

Tiesiogiai iš apibrėžimo seka gretasienio, pastatyto ant vektorių, tūrio apskaičiavimo formulė.

MIŠRUS TRIJŲ VEKTORIŲ PRODUKTAS IR JO SAVYBĖS

Mišrus darbas trys vektoriai vadinami skaičiumi, lygiu . Paskirta . Čia pirmieji du vektoriai dauginami vektoriniu būdu, o tada gautas vektorius skaliariškai dauginamas iš trečiojo vektoriaus. Akivaizdu, kad toks produktas yra tam tikras skaičius.

Panagrinėkime mišraus produkto savybes.

1. Geometrinė reikšmė mišrus darbas. 3 vektorių mišri sandauga, iki ženklo, lygi gretasienio, pastatyto ant šių vektorių, tūriui, kaip ant briaunų, t.y. .

   Taigi, ir .

   

   Įrodymas. Atidėkime vektorius iš bendros pradžios ir pastatykime ant jų gretasienį. Pažymėkime ir atkreipkite dėmesį į tai. Pagal skaliarinės sandaugos apibrėžimą

   Darant prielaidą, kad ir žymint pagal h raskite gretasienio aukštį.

   Taigi, kada

   Jei, tada taip. Vadinasi,.

   Sujungę abu šiuos atvejus, gauname arba .

   Visų pirma iš šios savybės įrodymo matyti, kad jei vektorių trigubas yra dešiniarankis, tada mišrusis produktas yra , o jei jis yra kairiarankis, tada .

2. Bet kokiems vektoriams , lygybė yra teisinga

   Šios savybės įrodymas išplaukia iš 1 ypatybės. Iš tiesų, lengva parodyti, kad ir . Be to, ženklai „+“ ir „–“ imami vienu metu, nes kampai tarp vektorių ir ir ir yra smailieji ir bukieji.

3. Pertvarkius bet kuriuos du veiksnius, mišrus produktas pakeičia ženklą.

   Iš tiesų, jei laikysime mišrų produktą, tada, pavyzdžiui, arba

4. Mišrus sandauga tada ir tik tada, kai vienas iš veiksnių yra lygus nuliui arba vektoriai yra vienodi.

   Įrodymas.

   Taigi būtina ir pakankama 3 vektorių koplanarumo sąlyga yra ta, kad jų mišrus sandauga yra lygus nuliui. Be to, iš to išplaukia, kad trys vektoriai sudaro pagrindą erdvėje, jei .

   Jei vektoriai pateikiami koordinačių forma, tada galima parodyti, kad jų mišrus produktas randamas pagal formulę:

   .

   Taigi, mišrus sandauga yra lygus trečios eilės determinantui, kurio pirmojoje eilutėje yra pirmojo vektoriaus koordinatės, antroje eilutėje - antrojo vektoriaus koordinatės, o trečioje eilutėje - trečiojo vektoriaus koordinatės.

   Pavyzdžiai.

ANALITINĖ GEOMETRIJOS ERDVĖJE

Lygtis F(x, y, z)= 0 apibrėžia erdvėje Oxyz tam tikras paviršius, t.y. taškų, kurių koordinatės, lokusas x, y, z patenkinti šią lygtį. Ši lygtis vadinama paviršiaus lygtimi ir x, y, z– dabartinės koordinatės.

Tačiau dažnai paviršius nurodomas ne lygtimi, o kaip erdvės taškų rinkinys, turintis vienokią ar kitokią savybę. Tokiu atveju reikia rasti paviršiaus lygtį pagal jo geometrines savybes.

LĖKTUVA.

NORMALUS PLOKTUMAS VEKTORIAUS.

PLOKŠTUMOS PER DUOTINĄ TAŠKĄ LYGTYBĖ

Panagrinėkime savavališką plokštumą σ erdvėje. Jo padėtis nustatoma nurodant šiai plokštumai statmeną vektorių ir kokį nors fiksuotą tašką M0(x 0, y 0, z 0), esantis σ plokštumoje.

Vektorius, statmenas plokštumai σ, vadinamas normalusšios plokštumos vektorius. Tegul vektorius turi koordinates.

Išveskime plokštumos σ, einančios pro ją, lygtį šį tašką M0 ir turintys normalų vektorių. Norėdami tai padaryti, paimkite savavališką tašką plokštumoje σ M(x, y, z) ir apsvarstykite vektorių .

Dėl bet kurio taško MО σ yra vektorius.Todėl jų skaliarinė sandauga lygi nuliui. Ši lygybė yra sąlyga, kad taškas MО σ. Jis galioja visuose šios plokštumos taškuose ir pažeidžiamas vos taškas M bus už σ plokštumos.

Jei taškus žymėsime spindulio vektoriumi M, – taško spindulio vektorius M0, tada lygtį galima parašyti forma

Ši lygtis vadinama vektorius plokštumos lygtis. Parašykime tai koordinačių forma. Nuo tada

Taigi, mes gavome plokštumos, einančios per šį tašką, lygtį. Taigi, norint sukurti plokštumos lygtį, reikia žinoti koordinates normalus vektorius ir kokio nors plokštumoje esančio taško koordinates.

Atkreipkite dėmesį, kad plokštumos lygtis yra 1-ojo laipsnio lygtis dabartinių koordinačių atžvilgiu x, y Ir z.

Pavyzdžiai.

BENDROJI PLOKŠTUMOS LYGTIS

Galima parodyti, kad bet kuri pirmojo laipsnio lygtis Dekarto koordinačių atžvilgiu x, y, z reiškia tam tikros plokštumos lygtį. Ši lygtis parašyta taip:

Ax+By+Cz+D=0

ir yra vadinamas bendroji lygtis plokštuma ir koordinates A, B, Cčia yra plokštumos normaliojo vektoriaus koordinatės.

Panagrinėkime ypatingus atvejus bendroji lygtis. Išsiaiškinkime, kaip plokštuma yra koordinačių sistemos atžvilgiu, jei vienas ar keli lygties koeficientai tampa lygūs nuliui.

A yra atkarpos ilgis, nupjautas plokštumos ašyje Jautis. Panašiai galima parodyti, kad b Ir c– nagrinėjamos plokštumos nupjautų segmentų ilgiai ant ašių Oy Ir Ozas.

Plokštumoms sudaryti patogu naudoti plokštumos lygtį segmentuose.

7.1. Kryžminio produkto apibrėžimas

Trys nevienaplaniai vektoriai a, b ir c, paimti nurodyta tvarka, sudaro dešiniarankį tripletą, jei nuo trečiojo vektoriaus c pabaigos trumpiausias posūkis nuo pirmojo vektoriaus a iki antrojo vektoriaus b. būti prieš laikrodžio rodyklę, o kairiarankis tripletas, jei pagal laikrodžio rodyklę (žr. 16 pav.).

Vektoriaus a ir vektoriaus b sandauga vadinama vektoriumi c, kuris:

1. Statmenai vektoriams a ir b, ty c ^ a ir c ^ b ;

2. Jo ilgis skaitiniu požiūriu lygus lygiagretainio plotui, sudarytam iš vektorių a irb kaip ir šonuose (žr. 17 pav.), t.y.

3. Vektoriai a, b ir c sudaro dešiniarankį trigubą.

Vektorinis meno kūrinysžymimas a x b arba [a,b]. Šie vienetinių vektorių i ryšiai tiesiogiai išplaukia iš vektorinės sandaugos apibrėžimo, j Ir k(žr. 18 pav.):

i x j = k, j x k = i, k x i = j.
Pavyzdžiui, įrodykime tai i xj =k.

1) k ^ i, k ^ j ;

2) |k |=1, bet | i x j| = |i | |J | sin(90°)=1;

3) vektoriai i, j ir k suformuoti dešinįjį trigubą (žr. 16 pav.).

7.2. Kryžminio produkto savybės

1. Pertvarkant veiksnius vektorinė sandauga keičia ženklą, t.y. ir xb =(b xa) (žr. 19 pav.).

Vektoriai a xb ir b xa yra kolinearūs, turi tuos pačius modulius (lygiagretainio plotas išlieka nepakitęs), bet yra priešingos krypties (priešingos orientacijos trigubai a, b, a xb ir a, b, b x a). Tai yra axb = -(b xa).

2. Vektoriaus sandauga turi derinimo savybę skaliarinio koeficiento atžvilgiu, ty l (a xb) = (l a) x b = a x (l b).

Tegul l >0. Vektorius l (a xb) yra statmenas vektoriams a ir b. Vektorius ( l a)x b taip pat yra statmenas vektoriams a ir b(vektoriai a, l bet guli toje pačioje plokštumoje). Tai reiškia, kad vektoriai l(a xb) ir ( l a)x b kolinearinis. Akivaizdu, kad jų kryptys sutampa. Jie yra vienodo ilgio:

Štai kodėl l(a xb)= l a xb. Tai įrodyta panašiu būdu l<0.

3. Du nuliniai vektoriai a ir b yra kolineariniai tada ir tik tada, kai jų vektorinė sandauga yra lygi nuliniam vektoriui, t. y. a ||b<=>ir xb =0.

Visų pirma, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Vektorinė sandauga turi pasiskirstymo savybę:

(a+b) xc = a xc + b xs.

Priimsime be įrodymų.

7.3. Kryžminės sandaugos išreiškimas koordinatėmis

Mes naudosime vektorių i sandaugų lentelę, j ir k:

jei trumpiausio kelio kryptis nuo pirmojo vektoriaus iki antrojo sutampa su rodyklės kryptimi, tai sandauga lygi trečiajam vektoriui, jei nesutampa, trečiasis vektorius imamas su minuso ženklu.

Tegu pateikti du vektoriai a =a x i +a y j+a z k ir b =b x i+b y j+b z k. Raskime šių vektorių vektorinę sandaugą, padaugindami juos iš daugianario (pagal vektorinės sandaugos savybes):

Gautą formulę galima parašyti dar trumpiau:

kadangi dešinioji lygybės (7.1) pusė atitinka trečiosios eilės determinanto plėtimą pagal pirmosios eilės elementus.Lygybę (7.2) lengva prisiminti.

7.4. Kai kurios kryžminio produkto taikymo sritys

Vektorių kolineariškumo nustatymas

Lygiagretainio ir trikampio ploto radimas

Pagal vektorių vektorinės sandaugos apibrėžimą A ir b |a xb | =|a | * |b |sin g, t.y. S poros = |a x b |. Ir todėl D S =1/2|a x b |.

Jėgos momento apie tašką nustatymas

Tegu taške A veikia jėga F = AB Paleisk APIE- tam tikras erdvės taškas (žr. 20 pav.).

Iš fizikos žinoma, kad jėgos momentas F taško atžvilgiu APIE vadinamas vektoriumi M, kuri eina per tašką APIE Ir:

1) statmenai plokštumai, einančiai per taškus O, A, B;

2) skaičiais lygus jėgos sandaugai, tenkančiai rankai

3) sudaro dešinįjį trigubą su vektoriais OA ir A B.

Todėl M = OA x F.

Linijinio sukimosi greičio nustatymas

Greitis v kampiniu greičiu besisukančio standaus kūno taškas M w aplink fiksuotą ašį, nustatomas pagal Eilerio formulę v =w xr, kur r =OM, kur O yra koks nors fiksuotas ašies taškas (žr. 21 pav.).

Vektorinis meno kūrinys yra pseudovektorius, statmenas plokštumai, sudarytas iš dviejų veiksnių, kuris yra dvejetainės operacijos „vektoriaus dauginimas“ per vektorius trimatėje euklidinėje erdvėje rezultatas. Vektoriaus sandauga neturi komutatyvumo ir asociatyvumo savybių (ji yra antikomutacinė) ir, skirtingai nei vektorių skaliarinė sandauga, yra vektorius. Plačiai naudojamas daugelyje inžinerijos ir fizikos programų. Pavyzdžiui, kampinis momentas ir Lorenco jėga užrašomi matematiškai kaip vektorinė sandauga. Kryžminė sandauga naudinga vektorių statmenumui „matuoti“ – dviejų vektorių kryžminės sandaugos modulis yra lygus jų modulių sandaugai, jei jie statmeni, ir sumažėja iki nulio, jei vektoriai lygiagretūs arba antilygiagretūs.

Vektoriaus sandauga gali būti apibrėžta įvairiais būdais, o teoriškai bet kokio dydžio n erdvėje galima apskaičiuoti n-1 vektorių sandaugą, taip gaunant vieną vektorių, statmeną jiems visiems. Bet jei sandauga apsiriboja netrivialiais dvejetainiais sandaugais su vektoriniais rezultatais, tai tradicinė vektorinė sandauga apibrėžiama tik trimatėse ir septynių dimensijų erdvėse. Vektorinės sandaugos, kaip ir skaliarinės sandaugos, rezultatas priklauso nuo Euklido erdvės metrikos.

Skirtingai nuo skaliarinės sandaugos vektorių apskaičiavimo iš koordinačių trimatėje stačiakampėje koordinačių sistemoje formulės, kryžminės sandaugos formulė priklauso nuo stačiakampės koordinačių sistemos orientacijos arba, kitaip tariant, nuo jos „chiralumo“.

Apibrėžimas:
Vektorių a ir vektoriaus b sandauga erdvėje R3 yra vektorius c, atitinkantis šiuos reikalavimus:
vektoriaus c ilgis yra lygus vektorių a ir b ilgių sandaugai tarp jų esančio kampo φ sinuso:
|c|=|a||b|sin φ;
vektorius c yra statmenas kiekvienam vektoriui a ir b;
vektorius c nukreiptas taip, kad vektorių abc trigubas būtų dešiniarankis;
erdvės R7 atveju reikalingas vektorių trigubo a, b, c asociatyvumas.
Pavadinimas:
c===a × b

Ryžiai. 1. Lygiagretainio plotas lygus vektorinės sandaugos moduliui

Kryžminio gaminio geometrinės savybės:
Būtina ir pakankama dviejų nulinių vektorių kolineariškumo sąlyga yra ta, kad jų vektorinė sandauga yra lygi nuliui.

Kryžminis produktų modulis lygus plotui S lygiagretainis, sudarytas iš vektorių, sumažintų iki bendros pradžios a Ir b(žr. 1 pav.).

Jeigu e- vieneto vektorius, statmenas vektoriams a Ir b ir pasirinko taip, kad trys a,b,e- Teisingai ir S yra ant jų sudaryto lygiagretainio plotas (sumažintas iki bendros pradžios), tada galioja vektoriaus sandaugos formulė:
=S e

2 pav. Lygiagretainio vamzdžio tūris naudojant vektorių ir skaliarinę vektorių sandaugą; punktyrinės linijos rodo vektoriaus c projekcijas į a × b ir vektoriaus a projekcijas į b × c, pirmas žingsnis yra rasti skaliarines sandaugas

Jeigu c- tam tikras vektorius, π - bet kuri plokštuma, kurioje yra šis vektorius, e- vieneto vektorius guli plokštumoje π ir statmenai į c,g- vieneto vektorius, statmenas plokštumai π ir nukreiptas taip, kad vektorių trigubas ekg yra teisus, tada už bet kokį gulėjimą lėktuve π vektorius a formulė teisinga:
=Pr e a |c|g
čia Pr e a yra vektoriaus e projekcija į a
|c|-vektoriaus c modulis

Naudodami vektorinius ir skaliarinius sandaugus, galite apskaičiuoti gretasienio tūrį, pastatytą ant vektorių, sumažintų iki bendros pradžios a, b Ir c. Tokia trijų vektorių sandauga vadinama mišriuoju.
V=|a (b×c)|
Paveikslėlyje parodyta, kad šį tūrį galima rasti dviem būdais: geometrinis rezultatas išsaugomas net sukeitus „skaliarinius“ ir „vektorinius“ sandaugas:
V=a×b c=a b×c

Kryžminės sandaugos dydis priklauso nuo kampo tarp pradinių vektorių sinuso, todėl kryžminė sandauga gali būti suvokiama kaip vektorių „statmenumo“ laipsnis, lygiai kaip skaliarinė sandauga gali būti vertinama kaip „lygiagretumo“ laipsnis. “. Dviejų vienetinių vektorių sandauga yra lygi 1 (vienetinis vektorius), jei pirminiai vektoriai yra statmeni, ir lygi 0 (nulis vektorius), jei vektoriai yra lygiagretūs arba antilygiagretūs.

Kryžminės sandaugos išraiška Dekarto koordinatėmis
Jei du vektoriai a Ir b apibrėžtos jų stačiakampėmis Dekarto koordinatėmis arba, tiksliau, pavaizduotomis ortonormaliu pagrindu
a=(ax,ay,az)
b=(b x ,b y ,b z)
o koordinačių sistema yra dešinė, tada jų vektorinė sandauga turi formą
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Norėdami prisiminti šią formulę:
i =∑ε ijk a j b k
Kur ε ijk- Levi-Civita simbolis.