Sva svojstva logaritama. Svojstva logaritama i primjeri njihovih rješenja. Sveobuhvatan vodič (2020). Izračunavanje logaritama po definiciji

Danas ćemo razgovarati o logaritamske formule a mi ćemo dati indikativno primjeri rješenja.

Oni sami po sebi podrazumijevaju obrasce rješenja prema osnovnim svojstvima logaritama. Prije primjene logaritamskih formula za rješavanje, podsjetimo vas na sva svojstva:

Sada ćemo na osnovu ovih formula (osobina) pokazati primjeri rješavanja logaritma.

Primjeri rješavanja logaritama na osnovu formula.

Logaritam pozitivan broj b na bazi a (označen log a b) je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobilo b, sa b > 0, a > 0 i 1.

Prema definiciji, log a b = x, što je ekvivalentno a x = b, dakle log a a x = x.

Logaritmi, primjeri:

log 2 8 = 3, jer 2 3 = 8

log 7 49 = 2, jer 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, jer 5 -1 = 1/5

Decimalni logaritam- ovo je običan logaritam čija je baza 10. Označava se kao lg.

log 10 100 = 2, jer 10 2 = 100

Prirodni logaritam- takođe običan logaritam, logaritam, ali sa osnovom e (e = 2,71828... - iracionalan broj). Označeno kao ln.

Preporučljivo je zapamtiti formule ili svojstva logaritama, jer će nam kasnije trebati pri rješavanju logaritama, logaritamskih jednadžbi i nejednačina. Proradimo ponovo kroz svaku formulu s primjerima.

• Osnovni logaritamski identitet
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritam proizvoda jednak je zbiru logaritama
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritam količnika jednak je razlici logaritama
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Svojstva stepena logaritamskog broja i baze logaritma

  Eksponent logaritamskog broja log a b m = mlog a b

  Eksponent baze logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ako je m = n, dobijamo log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Prelazak na novu osnovu
  log a b = log c b/log c a,

  ako je c = b, dobijamo log b b = 1

  tada je log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kao što vidite, formule za logaritme nisu tako komplikovane kao što se čine. Sada, nakon što smo pogledali primjere rješavanja logaritama, možemo prijeći na logaritamske jednadžbe. Detaljnije ćemo pogledati primjere rješavanja logaritamskih jednadžbi u članku: "". Ne propustite!

Ako i dalje imate pitanja o rješenju, napišite ih u komentarima na članak.

Napomena: odlučili smo da dobijemo drugu klasu obrazovanja i studiramo u inostranstvu kao opciju.

Kako se društvo razvijalo i proizvodnja postajala složenija, razvijala se i matematika. Kretanje od jednostavnog ka složenom. Od običnog računovodstva metodom sabiranja i oduzimanja, uz njihovo višestruko ponavljanje, došli smo do pojma množenja i dijeljenja. Smanjenje ponovljene operacije množenja postalo je koncept eksponencijalnosti. Prve tabele zavisnosti brojeva od baze i broja eksponencijalnosti sastavio je još u 8. veku indijski matematičar Varasena. Od njih možete računati vrijeme pojavljivanja logaritama.

Istorijska skica

Preporod Evrope u 16. veku takođe je podstakao razvoj mehanike. T zahtevala veliku količinu proračuna vezano za množenje i dijeljenje višecifrenih brojeva. Drevni stolovi bili su od velike pomoći. Omogućili su zamjenu složenih operacija jednostavnijim - zbrajanjem i oduzimanjem. Veliki iskorak bio je rad matematičara Michaela Stiefela, objavljen 1544. godine, u kojem je realizovao ideju mnogih matematičara. To je omogućilo korištenje tablica ne samo za stepene u obliku prostih brojeva, već i za proizvoljne racionalne.

Godine 1614, Škot Džon Napier, razvijajući ove ideje, prvi je uveo novi termin „logaritam broja“. Sastavljene su nove kompleksne tablice za izračunavanje logaritama sinusa i kosinusa, kao i tangenta. To je znatno smanjilo rad astronoma.

Počele su da se pojavljuju nove tablice koje su naučnici uspješno koristili tri stoljeća. Prošlo je dosta vremena dok nova operacija u algebri nije dobila svoj gotov oblik. Data je definicija logaritma i proučavana su njegova svojstva.

Tek u 20. veku, sa pojavom kalkulatora i kompjutera, čovečanstvo je napustilo drevne tablice koje su uspešno radile tokom 13. veka.

Danas logaritam od b na bazi a nazivamo brojem x koji je snaga a da bi se stvorilo b. Ovo je zapisano kao formula: x = log a(b).

Na primjer, log 3(9) bi bio jednak 2. Ovo je očigledno ako slijedite definiciju. Ako podignemo 3 na stepen 2, dobićemo 9.

Dakle, formulirana definicija postavlja samo jedno ograničenje: brojevi a i b moraju biti realni.

Vrste logaritama

Klasična definicija se zove realni logaritam i zapravo je rješenje jednadžbe a x = b. Opcija a = 1 je granična i nije od interesa. Pažnja: 1 na bilo koji stepen je jednako 1.

Realna vrijednost logaritma definiran samo kada su baza i argument veći od 0, a baza ne smije biti jednaka 1.

Posebno mjesto u oblasti matematike igrajte logaritme, koji će se imenovati ovisno o veličini njihove baze:

Pravila i ograničenja

Osnovno svojstvo logaritama je pravilo: logaritam proizvoda jednak je logaritamskom zbroju. log abp = log a(b) + log a(p).

Kao varijanta ove izjave biće: log c(b/p) = log c(b) - log c(p), kvocijentna funkcija je jednaka razlici funkcija.

Iz prethodna dva pravila lako je vidjeti da je: log a(b p) = p * log a(b).

Ostala svojstva uključuju:

Komentar. Nema potrebe praviti uobičajenu grešku - logaritam zbira nije jednak zbiru logaritama.

Tokom mnogih stoljeća, operacija pronalaženja logaritma bila je prilično dugotrajan zadatak. Matematičari su koristili dobro poznatu formulu logaritamske teorije polinomske ekspanzije:

ln (1 + x) = x — (x^2)/2 + (x^3)/3 — (x^4)/4 + … + ((-1)^(n + 1))*(( x^n)/n), gdje je n prirodni broj veći od 1, koji određuje tačnost izračunavanja.

Logaritmi s drugim bazama izračunati su korištenjem teoreme o prijelazu s jedne baze na drugu i svojstva logaritma proizvoda.

Budući da je ova metoda vrlo radno intenzivna i prilikom rješavanja praktičnih problema teška za implementaciju, koristili smo unaprijed sastavljene tabele logaritama, što je značajno ubrzalo sav rad.

U nekim slučajevima korišteni su posebno sastavljeni grafikoni logaritama, koji su davali manju preciznost, ali značajno ubrzavali traženje željene vrijednosti. Kriva funkcije y = log a(x), konstruisana preko nekoliko tačaka, omogućava vam da koristite regularni lenjir da pronađete vrednost funkcije u bilo kojoj drugoj tački. Dugo vremena inženjeri su za ove svrhe koristili takozvani graf papir.

U 17. veku pojavili su se prvi pomoćni analogni računarski uslovi, koji 19. vek dobio gotov izgled. Najuspješniji uređaj zvao se klizač. Unatoč jednostavnosti uređaja, njegov izgled značajno je ubrzao proces svih inženjerskih proračuna, a to je teško precijeniti. Trenutno je malo ljudi upoznato s ovim uređajem.

Pojava kalkulatora i kompjutera učinila je besmislenom upotrebu bilo kojih drugih uređaja.

Jednačine i nejednačine

Za rješavanje različitih jednadžbi i nejednačina pomoću logaritama koriste se sljedeće formule:

• Kretanje s jedne baze na drugu: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Kao posljedica prethodne opcije: log a(b) = 1 / log b(a).

Za rješavanje nejednakosti korisno je znati:

• Vrijednost logaritma će biti pozitivna samo ako su baza i argument veći ili manji od jedan; ako je barem jedan uvjet prekršen, vrijednost logaritma će biti negativna.
• Ako je funkcija logaritma primijenjena na desnu i lijevu stranu nejednakosti, a baza logaritma je veća od jedan, onda je znak nejednakosti sačuvan; inače se menja.

Problemi sa uzorcima

Razmotrimo nekoliko opcija za korištenje logaritama i njihovih svojstava. Primjeri sa rješavanjem jednadžbi:

Razmotrimo opciju stavljanja logaritma u stepen:

• Zadatak 3. Izračunajte 25^log 5(3). Rešenje: u uslovima problema, unos je sličan sledećem (5^2)^log5(3) ili 5^(2 * log 5(3)). Zapišimo to drugačije: 5^log 5(3*2), ili kvadrat broja kao argument funkcije može se napisati kao kvadrat same funkcije (5^log 5(3))^2. Koristeći svojstva logaritma, ovaj izraz je jednak 3^2. Odgovor: kao rezultat izračuna dobijamo 9.

Praktična upotreba

Budući da je čisto matematički alat, izgleda daleko od toga pravi zivot koji je logaritam iznenada stekao veliki značaj za opisivanje objekata iz stvarnog svijeta. Teško je naći nauku u kojoj se ne koristi. Ovo se u potpunosti odnosi ne samo na prirodna, već i na humanitarna polja znanja.

Logaritamske zavisnosti

Evo nekoliko primjera numeričkih ovisnosti:

Mehanika i fizika

Istorijski gledano, mehanika i fizika su se oduvijek razvijale korištenjem matematičkih istraživačkih metoda i istovremeno su služile kao poticaj za razvoj matematike, uključujući i logaritme. Teorija većine zakona fizike napisana je jezikom matematike. Navedimo samo dva primjera opisivanja fizičkih zakona pomoću logaritma.

Problem izračunavanja tako složene veličine kao što je brzina rakete može se riješiti korištenjem formule Tsiolkovsky, koja je postavila temelje za teoriju istraživanja svemira:

V = I * ln (M1/M2), gdje je

• V je konačna brzina aviona.
• I – specifični impuls motora.
• M 1 – početna masa rakete.
• M 2 – konačna masa.

Još jedan važan primjer- ovo se koristi u formuli drugog velikog naučnika Maxa Plancka, koja služi za procjenu stanja ravnoteže u termodinamici.

S = k * ln (Ω), gdje je

• S – termodinamičko svojstvo.
• k – Boltzmannova konstanta.
• Ω je statistička težina različitih stanja.

hemija

Manje očigledna je upotreba formula u hemiji koje sadrže omjer logaritama. Navedimo samo dva primjera:

• Nernstova jednadžba, stanje redoks potencijala medija u odnosu na aktivnost supstanci i konstantu ravnoteže.
• Proračun takvih konstanti kao što su indeks autolize i kiselost otopine također se ne može obaviti bez naše funkcije.

Psihologija i biologija

I uopće nije jasno kakve veze psihologija ima s tim. Ispostavilo se da je jačina osjeta dobro opisana ovom funkcijom kao inverzni omjer vrijednosti intenziteta stimulusa prema nižoj vrijednosti intenziteta.

Nakon gore navedenih primjera, više ne čudi što se tema logaritma široko koristi u biologiji. O biološkim oblicima koji odgovaraju logaritamskim spiralama mogli bi se napisati čitavi tomovi.

Ostala područja

Čini se da je postojanje svijeta nemoguće bez veze s ovom funkcijom, a ona vlada svim zakonima. Pogotovo kada su zakoni prirode povezani s geometrijskom progresijom. Vrijedi se obratiti na web stranicu MatProfi, a takvih primjera ima mnogo u sljedećim područjima djelovanja:

Lista može biti beskonačna. Nakon što ste savladali osnovne principe ove funkcije, možete uroniti u svijet beskonačne mudrosti.

Logaritmi, kao i svi brojevi, mogu se sabirati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali pošto logaritmi nisu baš obični brojevi, ovdje postoje pravila koja se nazivaju glavna svojstva.

Svakako morate znati ova pravila - bez njih se ne može riješiti nijedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, vrlo ih je malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Sabiranje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma sa istim osnovama: log a x i log a y. Tada se mogu sabirati i oduzimati i:

1. log a x+ log a y=log a (x · y);
2. log a x− log a y=log a (x : y).

Dakle, zbir logaritama je jednak logaritmu proizvoda, a razlika je jednaka logaritmu količnika. Imajte na umu: ključna stvar je ovdje identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne funkcionišu!

Ove formule će vam pomoći da izračunate logaritamski izraz čak i kada se njegovi pojedinačni dijelovi ne uzimaju u obzir (pogledajte lekciju “Šta je logaritam”). Pogledajte primjere i pogledajte:

Dnevnik 6 4 + log 6 9.

Pošto logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu sume:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kao što vidite, originalni izrazi su sastavljeni od „loših“ logaritama, koji se ne računaju zasebno. Ali nakon transformacija dobijaju se sasvim normalni brojevi. Mnogi su izgrađeni na ovoj činjenici test papiri. Da, izrazi poput testa se nude u potpunosti (ponekad i bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada da malo zakomplikujemo zadatak. Šta ako je osnova ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stepena može izvaditi iz predznaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali ipak je bolje zapamtiti to - u nekim slučajevima to će značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se poštuje ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. I još nešto: naučite primjenjivati ​​sve formule ne samo s lijeva na desno, već i obrnuto, tj. Možete unijeti brojeve prije znaka logaritma u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 7 49 6 .

Oslobodimo se stepena u argumentu koristeći prvu formulu:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

[Natpis za sliku]

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam, čija su osnova i argument tačni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do poslednjeg trenutka radimo samo sa imeniocem. Osnovu i argument logaritma koji tu stoji predstavili smo u obliku stepena i iznijeli eksponente - dobili smo razlomak od tri sprata.

Pogledajmo sada glavni razlomak. Brojilac i imenilac sadrže isti broj: log 2 7. Pošto je log 2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema pravilima aritmetike, četvorka se može prenijeti u brojilac, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prelazak na novu osnovu

Govoreći o pravilima za sabiranje i oduzimanje logaritama, posebno sam naglasio da oni rade samo sa istim osnovama. Šta ako su razlozi drugačiji? Šta ako nisu tačne snage istog broja?

Formule za prelazak na novu podlogu dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teoreme:

Neka je dat log logaritam a x. Zatim za bilo koji broj c takav da c> 0 i c≠ 1, jednakost je tačna:

[Natpis za sliku]

Konkretno, ako stavimo c = x, dobijamo:

[Natpis za sliku]

Iz druge formule proizilazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz „obrće“, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove formule se rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodne moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednačina i nejednačina.

Međutim, postoje problemi koji se nikako ne mogu riješiti osim preseljenjem u novu osnovu. Pogledajmo par ovih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže tačne potencije. Izvadimo indikatore: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Kako se proizvod ne mijenja pri preraspodjelu faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova i argument prvog logaritma su tačni potenci. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma pomicanjem na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam na datu bazu. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje indikator stepena statusa u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo šta, jer je to samo logaritamska vrijednost.

Druga formula je zapravo parafrazirana definicija. To se zove: osnovni logaritamski identitet.

U stvari, šta će se dogoditi ako broj b podići na takav stepen da broj b ovoj potenciji daje broj a? Tako je: dobijate isti broj a. Pažljivo pročitajte ovaj odlomak ponovo - mnogi ljudi zaglave u njemu.

Kao i formule za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet je ponekad jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

[Natpis za sliku]

Imajte na umu da je log 25 64 = log 5 8 - jednostavno uzet kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila za množenje potencija sa istom osnovom, dobijamo:

Ako neko ne zna, ovo je bio pravi zadatak sa Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima – radije su to posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, iznenađujuće, stvaraju probleme čak i „naprednim“ učenicima.

1. log a a= 1 je logaritamska jedinica. Zapamtite jednom za svagda: logaritam na bilo koju bazu a iz same ove baze jednak je jedan.
2. log a 1 = 0 je logaritamska nula. Baza a može biti bilo šta, ali ako argument sadrži jedan, logaritam je jednak nuli! Jer a 0 = 1 je direktna posljedica definicije.

To je sva imovina. Obavezno vježbajte da ih provedete u praksi! Preuzmite cheat sheet na početku lekcije, odštampajte ga i riješite probleme.

Date su osnovne osobine logaritma, logaritamski graf, domen definicije, skup vrijednosti, osnovne formule, povećanje i smanjenje. Razmatra se pronalaženje derivacije logaritma. Kao i integralno, proširenje niza stepena i predstavljanje pomoću kompleksnih brojeva.

Domen, skup vrijednosti, povećanje, smanjenje

Logaritam je monotona funkcija, tako da nema ekstrema. Glavna svojstva logaritma prikazana su u tabeli.

Privatne vrijednosti

Poziva se logaritam na osnovu 10 decimalni logaritam i označava se kako slijedi:

Logaritam prema bazi e pozvao prirodni logaritam:

Osnovne formule za logaritme

Svojstva logaritma koja proizlaze iz definicije inverzne funkcije:

Glavno svojstvo logaritma i njegove posljedice

Formula zamjene baze

Logaritam je matematička operacija uzimanja logaritma. Kada se uzimaju logaritmi, proizvodi faktora se pretvaraju u zbir članova.
Potenciranje je matematička operacija inverzna logaritmu. Tokom potenciranja, data baza se podiže do stepena ekspresije nad kojim se vrši potenciranje. U ovom slučaju, sume termina se pretvaraju u proizvode faktora.

Dokaz osnovnih formula za logaritme

Formule vezane za logaritme slijede iz formula za eksponencijalne funkcije i iz definicije inverzne funkcije.

Razmotrimo svojstvo eksponencijalne funkcije
.
Onda
.
Primijenimo svojstvo eksponencijalne funkcije
:
.

Dokažimo formulu zamjene baze.
;
.
Uz pretpostavku c = b, imamo:

Inverzna funkcija

Inverzna vrijednost logaritma bazi a je eksponencijalna funkcija sa eksponentom a.

Ako onda

Ako onda

Derivat logaritma

Derivat logaritma modula x:
.
Derivat n-tog reda:
.
Izvođenje formula > > >

Da bismo pronašli derivaciju logaritma, on se mora svesti na bazu e.
;
.

Integral

Integral logaritma se izračunava integracijom po dijelovima: .
dakle,

Izrazi koji koriste kompleksne brojeve

Razmotrimo funkciju kompleksnog broja z:
.
Izrazimo kompleksan broj z preko modula r i argument φ :
.
Zatim, koristeći svojstva logaritma, imamo:
.
Or

Međutim, argument φ nije jedinstveno definisan. Ako stavite
, gdje je n cijeli broj,
onda će to biti isti broj za različite n.

Dakle, logaritam, kao funkcija kompleksne varijable, nije jednoznačna funkcija.

Proširenje serije snaga

Kada dođe do proširenja:

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente, „Lan“, 2009.

Raspon prihvatljivih vrijednosti (APV) logaritma

Sada razgovarajmo o ograničenjima (ODZ - raspon dozvoljenih vrijednosti varijabli).

Sjećamo se da se, na primjer, kvadratni korijen ne može uzeti iz negativnih brojeva; ili ako imamo razlomak, onda imenilac ne može biti jednak nuli. Logaritmi imaju slična ograničenja:

To jest, i argument i baza moraju biti veći od nule, ali baza još uvijek ne može biti jednaka.

Žašto je to?

Počnimo s jednostavnom stvari: recimo to. Tada, na primjer, broj ne postoji, jer bez obzira na koju snagu dižemo, uvijek ispadne. Štaviše, ne postoji ni za koga. Ali u isto vrijeme može biti jednako bilo čemu (iz istog razloga - jednako bilo kojem stepenu). Dakle, predmet nije od interesa, i jednostavno je izbačen iz matematike.

Imamo sličan problem u slučaju: na bilo koju pozitivnu potenciju jeste, ali se nikako ne može podići na negativan stepen, jer će to rezultirati podjelom sa nulom (da vas podsjetim).

Kada smo suočeni s problemom podizanja na razlomak (koji je predstavljen kao korijen: . Na primjer, (to jest), ali on ne postoji.

Stoga je lakše baciti negativne razloge nego se petljati s njima.

Pa, pošto naša baza a može biti samo pozitivna, onda bez obzira na to na koju snagu je podignemo, uvijek ćemo dobiti striktno pozitivan broj. Dakle, argument mora biti pozitivan. Na primjer, ne postoji, jer neće biti negativan broj ni u kom stepenu (pa čak ni nula, stoga ni ne postoji).

Kod problema s logaritmima, prvo što trebate učiniti je zapisati ODZ. Dozvolite mi da vam dam primjer:

Hajde da riješimo jednačinu.

Prisjetimo se definicije: logaritam je snaga na koju se baza mora podići da bi se dobio argument. A prema uslovu, ovaj stepen je jednak: .

Dobijamo uobičajenu kvadratnu jednačinu: . Rešimo ga koristeći Vietin teorem: zbir korijena je jednak, a proizvod. Lako za preuzimanje, ovo su brojevi i.

Ali ako odmah uzmete i upišete oba ova broja u odgovor, možete dobiti 0 bodova za zadatak. Zašto? Razmislimo o tome šta će se dogoditi ako ove korijene zamijenimo u početnu jednačinu?

Ovo je očigledno netačno, jer baza ne može biti negativna, odnosno korijen je „treća strana“.

Da biste izbjegli takve neugodne zamke, morate zapisati ODZ čak i prije nego počnete rješavati jednadžbu:

Zatim, primivši korijene i, odmah odbacimo korijen i napišemo tačan odgovor.

Primjer 1(pokušaj to sam riješiti) :

Pronađite korijen jednačine. Ako postoji nekoliko korijena, navedite najmanji od njih u svom odgovoru.

Rješenje:

Prije svega, napišimo ODZ:

Sada se prisjetimo šta je logaritam: na koji stepen trebate podići bazu da biste dobili argument? Do drugog. To je:

Čini se da je manji korijen jednak. Ali to nije tako: prema ODZ-u, root je treće strane, odnosno uopće nije root zadata jednačina. Dakle, jednadžba ima samo jedan korijen: .

odgovor: .

Osnovni logaritamski identitet

Prisjetimo se definicije logaritma u općem obliku:

Zamijenimo logaritam u drugu jednakost:

Ova jednakost se zove osnovni logaritamski identitet. Iako je u suštini ovo jednakost - samo drugačije napisano definicija logaritma:

Ovo je moć do koje se morate podići da biste došli.

Na primjer:

Riješite sljedeće primjere:

Primjer 2.

Pronađite značenje izraza.

Rješenje:

Prisjetimo se pravila iz odjeljka: to jest, kada se stepen diže na stepen, eksponenti se množe. Primijenimo ga:

Primjer 3.

Dokaži to.

Rješenje:

Svojstva logaritama

Nažalost, zadaci nisu uvijek tako jednostavni - često je potrebno prvo pojednostaviti izraz, dovesti ga u uobičajeni oblik, pa će tek tada biti moguće izračunati vrijednost. Ovo je najlakše uraditi ako znate svojstva logaritama. Pa hajde da naučimo osnovna svojstva logaritama. Dokazat ću svaki od njih, jer svako pravilo je lakše zapamtiti ako znate odakle dolazi.

Sva ova svojstva moraju se zapamtiti; bez njih se većina problema s logaritmima ne može riješiti.

A sada o svim svojstvima logaritama detaljnije.

Nekretnina 1:

dokaz:

Neka bude onda.

Imamo: , itd.

Svojstvo 2: Zbir logaritama

Zbir logaritama sa istim bazama jednak je logaritmu proizvoda: .

dokaz:

Neka bude onda. Neka bude onda.

primjer: Pronađite značenje izraza: .

Rješenje: .

Formula koju ste upravo naučili pomaže da se pojednostavi zbir logaritama, a ne razlika, tako da se ovi logaritmi ne mogu odmah kombinirati. Ali možete učiniti suprotno - "podijelite" prvi logaritam na dva: A evo obećanog pojednostavljenja:
.
Zašto je to potrebno? Pa, na primjer: čemu je to jednako?

Sada je to očigledno.

Sad pojednostavite sami:

Zadaci:

odgovori:

Svojstvo 3: Razlika logaritama:

dokaz:

Sve je potpuno isto kao u tački 2:

Neka bude onda.

Neka bude onda. Imamo:

Primjer iz prethodnog paragrafa sada postaje još jednostavniji:

Složeniji primjer: . Možete li sami smisliti kako to riješiti?

Ovdje treba napomenuti da nemamo jedinstvenu formulu o logaritmima na kvadrat. Ovo je nešto slično izrazu - ne može se odmah pojednostaviti.

Stoga, hajde da se odmorimo od formula o logaritmima i razmislimo kakve formule najčešće koristimo u matematici? Od 7. razreda!

Ovo - . Morate se naviknuti na činjenicu da su posvuda! Javljaju se u eksponencijalnim, trigonometrijskim i iracionalnim problemima. Stoga ih se mora zapamtiti.

Ako pažljivo pogledate prva dva pojma, postaje jasno da je ovo razlika kvadrata:

Odgovor na provjeru:

Pojednostavite sami.

Primjeri

Odgovori.

Svojstvo 4: Izuzimanje eksponenta iz argumenta logaritma:

dokaz: I ovdje također koristimo definiciju logaritma: neka, onda. Imamo: , itd.

Ovo pravilo se može shvatiti na sljedeći način:

To jest, stepen argumenta se pomera ispred logaritma kao koeficijent.

primjer: Pronađite značenje izraza.

Rješenje: .

Odlučite sami:

primjeri:

odgovori:

Svojstvo 5: Uzimanje eksponenta iz baze logaritma:

dokaz: Neka bude onda.

Imamo: , itd.
Zapamtite: od osnove stepen se izražava kao suprotno broj, za razliku od prethodnog slučaja!

Svojstvo 6: Uklanjanje eksponenta iz baze i argumenta logaritma:

Ili ako su stepeni isti: .

Svojstvo 7: Prelazak na novu bazu:

dokaz: Neka bude onda.

Imamo: , itd.

Svojstvo 8: Zamijenite bazu i argument logaritma:

dokaz: Ovo je poseban slučaj formule 7: ako zamijenimo, dobijamo: , itd.

Pogledajmo još nekoliko primjera.

Primjer 4.

Pronađite značenje izraza.

Koristimo svojstvo logaritama br. 2 - zbir logaritama sa istom osnovom jednak je logaritmu proizvoda:

Primjer 5.

Pronađite značenje izraza.

Rješenje:

Koristimo svojstvo logaritma br. 3 i br. 4:

Primjer 6.

Pronađite značenje izraza.

Rješenje:

Koristimo svojstvo br. 7 - prijeđimo na bazu 2:

Primjer 7.

Pronađite značenje izraza.

Rješenje:

Kako vam se sviđa članak?

Ako čitate ove redove, onda ste pročitali cijeli članak.

I to je super!

Sada nam recite kako vam se sviđa članak?

Jeste li naučili rješavati logaritme? Ako ne, u čemu je problem?

Pišite nam u komentarima ispod.

I, da, sretno na ispitima.

Na Jedinstvenom državnom ispitu i Jedinstvenom državnom ispitu i uopšte u životu