خط مستقيم محدد بتقاطع طائرتين. المعادلات العامة للخط المستقيم كخط تقاطع طائرتين ابحث عن معادلة الخط المستقيم لتقاطع طائرتين على الإنترنت

يوجد في كل خط مستقيم في الفضاء عدد لا يحصى من المستويات. وأي اثنين منهم، متقاطعين، يحددانه في الفضاء. وبالتالي، فإن معادلات أي مستويين من هذا القبيل، عند النظر إليهما معًا، تمثل معادلات هذا الخط.

وبشكل عام، أي طائرتين غير متوازيتين تعطى بالمعادلات العامة

تحديد الخط المستقيم لتقاطعهما. تسمى هذه المعادلات معادلات عامةمستقيم

تذكرة 6اكتب تعبيرًا للزاوية بين الخط والمستوى، وحالة التوازي والعمودية بين الخط والمستوى.

زاويةبين الخط المستقيم والمستوى سنسمي الزاوية التي يشكلها الخط المستقيم ومسقطه على المستوى. دع الخطوط المستقيمة للطائرة تعطى من المعادلات

دعونا ننظر في المتجهات و . وإذا كانت الزاوية بينهما حادة، فستكون حيث φ هي الزاوية بين الخط المستقيم والمستوى. ثم .

إذا كانت الزاوية بين المتجهات و منفرجة فإنها تساوي . لذلك . لذلك، في أي حال. تذكر صيغة حساب جيب تمام الزاوية بين المتجهات، نحصل عليها .

حالة عمودي الخط والطائرة.يكون الخط والمستوى متعامدين إذا وفقط إذا كان متجه اتجاه الخط والمتجه الطبيعي للمستوى على خط مستقيم، أي. .

حالة التوازي بين الخط والمستوى.يكون الخط والمستوى متوازيين إذا وفقط إذا كان المتجهان متعامدين.

تذكرة 7. تحديد القطع الناقص. اكتب معادلة القطع الناقص بالصورة القانونية. القمم والبؤر والمحاور والانحراف المركزي للقطع الناقص.

تعريف:القطع الناقص هو المحل الهندسي للنقاط على المستوى، ولكل منها مجموع المسافات إلى نقطتين معينتين على نفس المستوى، تسمى بؤر القطع الناقص، هو قيمة ثابتة.

يترك F 1 و F 2- بؤرة القطع الناقص. يبدأ ياسيتم وضع أنظمة الإحداثيات في منتصف المقطع F 1 F 2. محور ثوردعونا نوجه المحور على طول هذا الجزء أوي– عمودي على هذا الجزء (الشكل).

تعريف:تسمى نقاط تقاطع القطع الناقص مع محاور تماثله القمم القطع الناقصأ، مركز التماثل – مركز القطع الناقص، يسمى الجزء الواقع بين رأسين يحتويان على بؤرتين المحور الرئيسي للقطع الناقصنصف طوله - نصف المحور الرئيسي للقطع الناقص. يُطلق على القطعة الواقعة بين القمم على محور التماثل والتي لا تحتوي على بؤر المحور الصغير للقطع الناقصونصف طوله هو المحور شبه الأصغر. الكمية تسمى غريب الأطوار من القطع الناقص.

إذا تم إعطاء القطع الناقص بواسطة المعادلات القانونية، فإن رؤوسه لها إحداثيات (- أ;0), (أ;0),(0; –ب), (0;ب)، المحور شبه الرئيسي هو أ، المحور شبه الأصغر يساوي ب. ضخامة ج، وهو نصف المسافة بين البؤرتين، يتم تحديده من الصيغة ج 2 = أ 2 – ب 2 .

يميز الانحراف المركزي للقطع الناقص درجة استطالة القطع الناقص. كلما اقترب الانحراف المركزي من الصفر، كلما كان القطع الناقص أشبه بالدائرة. كلما اقترب الانحراف المركزي من 1، كلما كان القطع الناقص أكثر استطالة. لاحظ أنه حسب تعريف القطع الناقص 0< <1.

المعادلة تسمى معادلة القطع الناقص الأساسية.

تذكرة 8تعريف المبالغة. اكتب معادلة القطع الزائد في الصورة القانونية. القمم والبؤر والمحاور والخطوط المقاربة وغرابة الأطوار للقطع الزائد،

تعريف:القطع الزائد هو موضع النقاط على المستوى، لكل منها القيمة المطلقة للفرق في المسافات إلى نقطتين ثابتتين على نفس المستوى، تسمى بؤر القطع الزائد، هي قيمة ثابتة.

كما هو الحال في حالة القطع الناقص، للحصول على معادلة القطع الزائد، نختار نظام إحداثي مناسب. يقع أصل الإحداثيات في منتصف الجزء بين البؤرتين، المحور ثوردعونا نوجهه على طول هذا الجزء، ويكون المحور الإحداثي عموديًا عليه.

المعادلة تسمى المعادلة الكنسيةمقارنة مبالغ فيها.

يحتوي القطع الزائد على محورين متعامدين للتماثل، يحتوي أحدهما على بؤرة القطع الزائد ومركز التماثل. إذا تم إعطاء القطع الزائد بواسطة معادلة قانونية، فإن محاور تماثلها هي محاور الإحداثيات ثورو أوي، والأصل هو مركز تناظر القطع الزائد.

تعريف:نقاط تقاطع القطع الزائد المحددة بالمعادلة الأساسية مع المحور ثوروتسمى رؤوس القطع الزائد، يسمى الجزء بينهما المحور الحقيقي للقطع الزائد. قطعة المحور الإحداثي بين النقاط (0؛- ب) و (0؛ ب) يسمى المحور التخيلي. أعداد أو بتسمى أنصاف المحاور الحقيقية والتخيلية للقطع الزائد، على التوالي. أصل الإحداثيات يسمى مركزها. الكمية تسمى الانحرافمقارنة مبالغ فيها.

تعليق:من المساواة ب 2 = ج 2 – أ 2 يترتب على ذلك ج>أ، أي أن القطع الزائد له > 1. الانحراف يميز الزاوية بين الخطوط المقاربة؛ كلما اقتربت من 1، كانت هذه الزاوية أصغر.

التذكرة 9.تحديد القطع المكافئ. اكتب معادلة القطع المكافئ بالصورة القانونية. مديرة المدرسة، التركيز على القطع المكافئ

القطع المكافئ هو المحل الهندسي للنقاط في المستوى التي تكون على مسافة متساوية من نقطة معينة F وخط مستقيم معين d لا يمر عبر النقطة المعطاة. ويعبر هذا التعريف الهندسي الخاصية التوجيهية للقطع المكافئ.

الخاصية التوجيهية للقطع المكافئ تسمى النقطة F بؤرة القطع المكافئ، والخط d هو دليل القطع المكافئ، ونقطة المنتصف O للعمودي المسقط من التركيز إلى الدليل هو قمة القطع المكافئ، والمسافة p من التركيز على الدليل هو معلمة القطع المكافئ، والمسافة p2 من قمة القطع المكافئ إلى بؤرته هي المسافة البؤرية (الشكل أ). يسمى الخط المستقيم المتعامد مع الدليل ويمر عبر البؤرة بمحور القطع المكافئ (المحور البؤري للقطع المكافئ). يُطلق على الجزء FM الذي يربط نقطة تعسفية M من القطع المكافئ مع تركيزه نصف القطر البؤري للنقطة M. ويسمى الجزء الذي يربط بين نقطتين من القطع المكافئ وتر القطع المكافئ.

بالنسبة لنقطة القطع المكافئ العشوائية، فإن نسبة المسافة إلى التركيز إلى المسافة إلى الدليل تساوي واحدًا. وبمقارنة الخصائص التوجيهية للقطع الناقص والقطع الزائد والقطع المكافئ، نستنتج ذلك الانحراف المكافئحسب التعريف يساوي واحد

.التعريف الهندسي للقطع المكافئ ، معبرًا عن خاصيته التوجيهية، يعادل تعريفه التحليلي - الخط المحدد بالمعادلة الأساسية للقطع المكافئ:

تذكرة 10. ما هي المصفوفة المربعة، الوحدة، المتناظرة، المتعامدة. تحديد مصفوفة منقولة ومعكوسة.

التعريف 1.مصفوفةهو جدول مستطيل من الأرقام يحتوي على - صفوف و - أعمدة. .

التعريف 2.الأرقام التي اتصلت بها أوامر المصفوفة(أو يقال أن المصفوفة لها حجم)

التعريف 3.تسمى الأرقام الموجودة في هذه المصفوفة عناصر.

1. التعريف 4. تسمى المصفوفة مربع إذا كان عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة. في حالة المصفوفة المربعة، يتم تقديم المفاهيم قطري رئيسي(هذه أرقام - ) و قطري جانبي(هذه أرقام -).

2. متماثل(متناظرة) هي مصفوفة مربعة عناصرها متناظرة حول القطر الرئيسي. وبشكل أكثر رسمية، تسمى المصفوفة متماثلة.

هذا يعني أنها تساوي المصفوفة المنقولة:

3. مصفوفة الوحدة تسمى المصفوفة القطرية التي تكون فيها جميع العناصر القطرية تساوي واحدًا. على سبيل المثال، مصفوفة الهوية من الدرجة الثالثة هي المصفوفة

مصفوفة متعامدة

مصفوفة مربعة أ، لأي منهم أ -1 = أ تمُسَمًّى مصفوفة متعامدة. الخصائص الأساسية للمصفوفة المتعامدة:معامل محدد المصفوفة المتعامدة يساوي واحدًا. تتبع هذه الخاصية خصائص المحددات:

مجموع مربعات عناصر أي عمود من المصفوفة المتعامدة يساوي واحدًا.

المنتج النقطي لصف مع نفسه هو 1، ومع أي صف آخر هو 0. وينطبق الشيء نفسه على الأعمدة.

مجموع منتجات عناصر أي صف من المصفوفة المتعامدة مع العناصر المقابلة لها في صف آخر هو صفر.

مصفوفة معكوسة هي مصفوفة، عندما يتم ضرب كل من اليمين واليسار في مصفوفة معينة، فإنها تعطي مصفوفة الوحدة. دعونا نشير إلى معكوس المصفوفة أمن خلال ، ثم حسب التعريف نحصل على: أين ه- مصفوفة الهوية.

المصفوفة العكسية غير موجودة في جميع المصفوفات. الشرط الضروري والكافي لعدم الانحطاط هو

ديت ( أ) ≠ 0 أو الرتبة( أ) = ن.

خصائص المصفوفات العكسية

· ، حيث يدل على المحدد.

· لأي اثنين من المصفوفات القابلة للعكس و .

· ، حيث يدل على المصفوفة المنقولة.

· لأي معامل.

· إذا كان من الضروري حل نظام من المعادلات الخطية (ب هو متجه غير صفري) فأين هو المتجه المطلوب، وإذا كان موجوداً، إذن. وإلا فإما أن يكون بُعد فضاء الحل أكبر من الصفر، أو لا توجد حلول على الإطلاق.

مصفوفة منقولة- يتم الحصول على المصفوفة من المصفوفة الأصلية عن طريق استبدال الصفوف بالأعمدة.

رسميًا، المصفوفة المنقولة لمصفوفة الحجم هي مصفوفة حجم، يتم تعريفها على أنها .

تذكرة 11.ما هي المصفوفات المكافئة؟ قائمة التحولات الأولية للمصفوفات. ماذا يمكننا أن نقول عن صفوف المصفوفات المتكافئة؟

تعريف. تسمى المصفوفات التي تم الحصول عليها نتيجة للتحول الأولي مقابل.

التحويلات الأولية على صفوف المصفوفاتتسمى تحويلات السلسلة التالية:

1. ضرب سلسلة برقم غير الصفر؛

2. إعادة ترتيب سطرين.

3. إضافة صف آخر من المصفوفة إلى صف آخر مضروبًا في عدد غير الصفر.

4. إذا انتقل أحد من مصفوفة إلى مصفوفة باستخدام التحويلات المكافئة على الصفوف، فإن هذه المصفوفات تسمى مقابلو تدل .

5. طريقة التحويل الابتدائية

6. رتبة المصفوفة تساوي عدد الصفوف غير الصفرية في المصفوفة بعد اختزالها إلى الشكل الصفي باستخدام التحويلات الأولية على صفوف المصفوفة.

التذكرة 12، ما هو القاصر الأساسي. اذكر أساس النظرية الصغرى.

تعريف. رتبة المصفوفة A هي الدرجة القصوى للمصفوفة الثانوية غير الصفرية (الصغرى هي محدد المصفوفة المربعة). تمت الإشارة إليه بواسطة .

تعريف. ويسمى القاصر الذي يحدد رتبة المصفوفة بالأساس القاصر. تسمى الصفوف والأعمدة التي تشكل BM الصفوف والأعمدة الأساسية.

تعريف. نظام العمود تسمى أرقامًا تابعة خطيًا لا تساوي جميعها الصفر، وهي:

نظرية الأساس الصغرى

أعمدة المصفوفة المضمنة في الأساس الثانوي تشكل نظامًا مستقلاً خطيًا. يتم التعبير عن أي عمود من أعمدة المصفوفة خطيًا من خلال الأعمدة المتبقية من الأساس الثانوي.

في مصفوفة الحجم، يسمى الترتيب الثانوي بالأساس إذا كان غير صفر وجميع الترتيب الثانوي -ro يكون صفرًا أو غير موجود على الإطلاق.

عاقبة.إذا تم التعبير عن جميع أعمدة المصفوفة خطيًا بدلالة الأعمدة التي تشكل نظامًا مستقلاً خطيًا، فإن رتبة المصفوفة هي.

التذكرة 13ما هو نظام المعادلات المتجانس وغير المتجانس. ما يسمى حل نظام المعادلات. اشرح المصطلحات: نظام المعادلات المتوافق، نظام المعادلات غير المتسق. ما هي أنظمة المعادلات التي تسمى مكافئة؟

التعريف 1.إذا كانت جميع الحدود الحرة تساوي الصفر، فإن النظام يسمى متجانسًا، وغير متجانس بخلاف ذلك.

التعريف 2.الحل للنظام هو مجموعة من نأعداد مع 1 , مع 2 , …, مع n ، والذي عند استبداله في النظام بدلاً من المجهول، سيؤدي إلى مالهويات العددية.

التعريف 3.يُسمى النظام متوافقًا (غير متوافق) إذا كان له حل واحد على الأقل (ليس له حلول).

التعريف 4.يسمى النظام الثابت للمعادلات الجبرية الخطية محددًا (غير محدد) إذا كان له حل فريد (مجموعة الحلول).

تعريف.

يتم استدعاء نظامين من المعادلات الخطية مقابل (مقابل), إذا كان لديهم نفس الحلول.

يتم الحصول على الأنظمة المكافئة، على وجه الخصوص، عن طريق التحويلات الأولية للنظام، بشرط أن يتم تنفيذ التحويلات فقط على صفوف النظام.

التذكرة 14ما هو النظام الأساسي للحلول لنظام متجانس من المعادلات. ما يسمى بالحل العام لنظام متجانس من المعادلات.

تعريف.يسمى أساس مساحة الحل لنظام المعادلات الخطية المتجانسة النظام الأساسي للحلول.

نظرية بنية الحل العام لنظام متجانس من المعادلات:

يتم تحديد أي حل لنظام متجانس من المعادلات الخطية بواسطة الصيغة

أين X 1 , X 2 , … , × ن − ص- النظام الأساسي للحلول لنظام متجانس من المعادلات الخطية و ج 1 , ج 2 , … , CN − ص- الثوابت التعسفية.

خصائص الحل العام لنظام متجانس من المعادلات:

1. لأية قيم ج 1 , ج 2 , … , CN − ص X، المحددة بالصيغة (3)، هي حل للنظام (1).

2. مهما كان القرار X 0، هناك أرقام ج 1 0 , … , CN − ص 0 مثل ذلك

خاتمة:للعثور على النظام الأساسي والحل العام لنظام متجانس، تحتاج إلى العثور على أساس نواة العامل الخطي المقابل.

التذكرة 16. تعريف الفضاء الخطي وصياغة خصائصه.

مجموعة من ل مُسَمًّى خطي أو مساحة المتجهات ، إذا تم تحديد عمليات الجمع والضرب برقم لجميع العناصر (المتجهات) لهذه المجموعة وكان ما يلي صحيحًا:

1. كل زوج من العناصر سو ذمن ل يستجيب العنصر س + ذمن ل ، مُسَمًّى كميةسو ذ، و:

س + ذ = ص+س- الجمع تبادلي؛

س + (ص + ض) = (س + ص) + ض- الجمع ترابطي؛

س +0 = س- هناك واحد فقط باطلعنصر 0 (س +0 = سلأي احد سمن ل );

س + (− س)= 0 - لكل عنصر سمن ل هناك واحد فقط عكسعنصر −س (س + (−س) = 0لأي احد سمن ل) .

2. كل زوجين سو α، حيث α − رقم، و سعنصر من ل ، يتوافق مع العنصر α س، مُسَمًّى عملα وس، و:

α·(β · س) = (α·β) · س− الضرب في عدد هو أمر ترابطي: ;

1· س = س- لأي عنصر سمن ل .

3. ترتبط عمليات الجمع والضرب في عدد بالعلاقات التالية:

α·( س + ذ) = α· س + α· ذ- الضرب في عدد هو توزيع بالنسبة إلى جمع العناصر؛

(α + β )· س = α· س + β · س- الضرب بالمتجه هو توزيع بالنسبة إلى جمع الأرقام.

التذكرة 17. الفضاء الجزئي للفضاء الخطي. خصائصه. قذيفة خطية.

تعريف الفضاء الجزئي الخطي

تسمى المجموعة الفرعية غير الفارغة L من الفضاء الخطي V الفضاء الجزئي الخطي الفضاء الخامس إذا

1) u+v∈L ∀u,v∈L (الفضاء الجزئي مغلق بالنسبة لعملية الإضافة)؛

2) αv∈L ∀v∈L وأي رقم π (الفضاء الجزئي مغلق فيما يتعلق بعملية ضرب المتجه برقم).

الخاصية 1كل مساحة فرعية من الفضاء الخطي R هي مساحة خطية.

الملكية 2خافت M ≥ خافت Rn.

الخاصية 3 (حول استكمال الأساس). إذا كان (ep)k أساسًا في الفضاء الجزئي M من الفضاء الخطي Rn، وk< n, то можно так выбрать элементы в Rn ek+1, ek+2, . . . , en, что (ep)n будет базисом в Rn.

التعريف: قذيفة خطيةهي مجموعة من المتجهات التي تحدد الفضاء الجزئي الخطي. بالمعنى الدقيق للكلمة، الهيكل الخطي هو مجموعة من جميع المجموعات الخطية من المتجهات المعطاة. سنشير أيضًا إلى الميزات:

التذكرة 18. تعريف الفضاء الإقليدي. شرح عملية تطبيع المتجهات.

تعريفدع V يكون مساحة متجهة. يقال إن المنتج القياسي معطى بـ V إذا كان أي متجهين x، y ∈ V مرتبطين برقم حقيقي، يسمى المنتج القياسي لهذه المتجهات ويشار إليه بـ xy أو (x، y)، بحيث تكون الشروط التالية راضٍ (هنا x، y، z هي متجهات عشوائية من V، و

ر - عدد حقيقي تعسفي):

1) xy = yx (المنتج العددي تبادلي)؛

2) (tx)y = t(xy);

3) (x + y)z = xz + yz (المنتج القياسي توزيعي فيما يتعلق بالجمع)؛

4) xx >=0، وxx = 0 إذا وفقط إذا كانت x = 0.

يُطلق على الفضاء المتجه الذي يتم فيه تحديد المنتج العددي اسم الإقليدية. الخصائص 1)–4) تسمى بديهيات الفضاء الإقليدي.

يسمى المتجه تطبيع أو فرديإذا كان طوله يساوي واحدًا. لتطبيع متجه عشوائي غير صفري يعني تقسيمه على طوله. والنتيجة هي متجه وحدة متزامن الاتجاه مع المتجه الأصلي.
المنتج العددي لمتجه عشوائي ومتجه وحدة سيعطي الطول الدقيق لإسقاط هذا المتجه على اتجاه الوحدة الواحدة. للحصول على ليس الطول فحسب، بل أيضًا إسقاط المتجه نفسه، نحتاج إلى ضرب هذا الطول في متجه الوحدة:

التذكرة 19ما هو الأساس المتعامد؟ اشرح عملية تعامد جرام-شميت باستخدام مثال الأساس ثنائي الأبعاد.

نظام متعامد يتكون من نثلاثة أبعاد نالفضاء الإقليدي ذو الأبعاد، يشكل أساس هذا الفضاء. يسمى هذا الأساس متعامدأساس.

لو ه 1 , ه 2 , ...، هن -متعامدأساس ن- الفضاء الإقليدي الأبعاد و

س = س 1 ه 1 + س 2 ه 2 + ... + س ن ه ن - تحلل المتجهات سوعلى هذا الأساس، ثم الإحداثيات سأنا المتجه سعلى أساس متعامد يتم حسابها باستخدام الصيغ سأنا =(س، هأنا ), أنا= 1, 2, ..., ن.

غراما-شميت،نظرا لنظام مستقل خطيا من المتجهات ب 1 , ب 2 , …, ب ل , أ ل+1 , …, أ ن ل ≥ 1(1) سيتم الإشارة إلى الجزء الذي هو متعامد ب ل+1المكون المتعامد للناقل و ل+1نسبة إلى النظام المتعامد ب 1، ب 2، …، بل. ثم1. نظام المتجهات ب 1 , ب 2 , …, ب ل , ب ل+1 , أ ل+2 , …, أ ن(2) يعادل (1).

2. نظام المتجهات (2) مستقل خطياً، وهو جزء منه ب 1 , ب 2 , …, ب ل , ب ل+1- متعامد: باستخدام مفهوم المكون المتعامد، نصف عملية تحويل نظام مستقل خطيًا أ 1، أ 2، …، نفي نظام متعامد ب 1، ب 2، …، ب نناقلات غير صفرية، وهو ما يسمى التعامد للنظام أ 1، أ 2، …، نتتكون هذه العملية من عدد n من الخطوات، n عدد المتجهات في النظام الأصلي أ 1، أ 2، …، ن.

خطوة واحدة. نعتقد ب 1 = أ 1ونحصل على النظام ب 1، أ 2، …، ن

الخطوة 2. دعونا نستبدل المتجه في النظام (3) 2مكون متعامد نسبة إلى ب 1، ونحصل على النظام: ب 1 , ب 2 , أ 3 ,…, ن (4)

ووفقا لخطوات التعامد فإن النظام (4) مستقل خطيا وجزء منه ب 1, ب 2-متعامد.

لنفترض أنه تم بالفعل إنشاء نظام مستقل خطيًا ب 1، ب 2، …، ب ك-1، أ ك،…، أ ن, (5)

بحيث ب 1، ب 2، …، ب ك-1- متعامد.

في الخطوة k k = 3, n، نستبدل المتجه في النظام (5) كمكونه المتعامد بالنسبة للنظام ب 1، ب 2، …، ب ك-1ونحصل على النظام ب 1 , …,ب ك , أ ك+1 , …, أ ن.

بعد الانتهاء من الخطوة n، نحصل على نظام مستقل خطيا ومتعامد من المتجهات ب 1، ب 2، …، ب ن.

التذكرة 20.إعطاء تعريف للمشغل في الفضاء الخطي. أي عامل يسمى الخطي.

المشغل أو العاملهي القاعدة التي وفقا لها كل عنصر س X يتم مطابقة عنصر واحد ذبعض مجموعة غير فارغة ي . يقال أن المشغل يتصرف من X الخامس ي .

تتم الإشارة إلى إجراء المشغل بواسطة ذ = أ (س), ذ- صورة س, س- النموذج المبدئي ذ.

إذا كان كل عنصر ذمن ي لديه نموذج أولي واحد س من X , ذ= أ (س)، يتم استدعاء عامل التشغيل رسم الخرائط واحد لواحد X الخامس ي أو التحول X , X - نطاق تعريف المشغل.

يترك X و ي مسافتين خطيتين. المشغل أو العامل أ ، تعمل من X الخامس ي ، مُسَمًّى المشغل الخطي, إذا لأي عنصرين شو الخامسمن X وأي عدد α فإن ما يلي صحيح:

أ(ش+ الخامس) = أ (ش) + أ (الخامس) , أ (α· ش) = α· أ (ش).

التذكرة 21.أعط مثالا على عامل خطي. ما هي العمليات التي تعرفها على العوامل الخطية؟

الزاوية بين المستويات

خذ بعين الاعتبار طائرتين α 1 و α 2، محددتين على التوالي بالمعادلات:

تحت زاويةبين طائرتين سوف نفهم إحدى الزوايا ثنائية السطوح التي تشكلها هذه الطائرات. من الواضح أن الزاوية بين المتجهات والمستويات العادية α 1 و α 2 تساوي إحدى زوايا ثنائي السطوح المجاورة المشار إليها أو . لهذا . لأن و ، الذي - التي

مثال.تحديد الزاوية بين الطائرات س+2ذ-3ض+4=0 و 2 س+3ذ+ض+8=0.

شرط التوازي بين طائرتين.

يكون المستويان α 1 و α 2 متوازيين إذا وفقط إذا كانت متجهاتهما الطبيعية متوازية، وبالتالي .

لذلك، يكون المستويان متوازيين مع بعضهما البعض إذا وفقط إذا كانت معاملات الإحداثيات المقابلة متناسبة:

أو

حالة عمودي الطائرات.

من الواضح أن المستويين يكونان متعامدين إذا وفقط إذا كانت متجهاتهما العمودية متعامدة، وبالتالي، أو .

هكذا، .

أمثلة.

مستقيم في الفضاء.

معادلة المتجهات للخط.

المعادلات البارامترية المباشرة

يتم تحديد موضع الخط في الفضاء بالكامل عن طريق تحديد أي نقطة من نقاطه الثابتة م 1 ومتجه موازي لهذا الخط.

يسمى المتجه الموازي للخط خطوط إرشادناقلات هذا الخط.

لذلك دعونا الخط المستقيم ليمر عبر نقطة م 1 (س 1 , ذ 1 , ض 1) مستلقيا على خط موازي للمتجه .

النظر في نقطة تعسفية م (س، ص، ض)على خط مستقيم. ومن الشكل يتضح ذلك .

المتجهات و على خط واحد، لذلك هناك مثل هذا الرقم رماذا وأين المضاعف ريمكن أن تأخذ أي قيمة رقمية حسب موضع النقطة معلى خط مستقيم. عامل رتسمى المعلمة. بعد أن عينت ناقلات نصف القطر من النقاط م 1 و معلى التوالي، من خلال و ، نحصل على . تسمى هذه المعادلة المتجهمعادلة الخط المستقيم. ويبين ذلك لكل قيمة المعلمة ريتوافق مع ناقل نصف القطر لنقطة ما م، مستلقيا على خط مستقيم.

لنكتب هذه المعادلة في الصورة الإحداثية. لاحظ أن ، ومن هنا

تسمى المعادلات الناتجة حدوديمعادلات الخط المستقيم.

عند تغيير المعلمة رتغيير الإحداثيات س, ذو ضوالفترة ميتحرك في خط مستقيم.

المعادلات القانونية المباشرة

يترك م 1 (س 1 , ذ 1 , ض 1) – نقطة تقع على خط مستقيم ل، و هو متجه الاتجاه. دعونا مرة أخرى نأخذ نقطة عشوائية على الخط م (س، ص، ض)والنظر في ناقلات .

من الواضح أن المتجهات أيضًا على خط واحد، لذلك يجب أن تكون إحداثياتها المقابلة متناسبة، وبالتالي،

– العنوان الأساسيمعادلات الخط المستقيم.

ملاحظة 1.لاحظ أنه يمكن الحصول على المعادلات الأساسية للخط من المعادلات البارامترية عن طريق حذف المعلمة ر. في الواقع، من المعادلات البارامترية نحصل عليها أو .

مثال.اكتب معادلة الخط في شكل بارامترية.

دعونا نشير ، من هنا س = 2 + 3ر, ذ = –1 + 2ر, ض = 1 –ر.

ملاحظة 2.ليكن الخط المستقيم متعامدا مع أحد محاور الإحداثيات، كالمحور مثلا ثور. ومن ثم يكون متجه الاتجاه للخط عموديًا ثور، لذلك، م=0. وبالتالي فإن المعادلات البارامترية للخط ستأخذ الشكل

استبعاد المعلمة من المعادلات ر، نحصل على معادلات الخط في النموذج

ومع ذلك، في هذه الحالة أيضًا، نتفق على كتابة المعادلات القانونية للخط في الصورة رسميًا . وبالتالي، إذا كان مقام أحد الكسور هو صفر، فهذا يعني أن الخط المستقيم عمودي على محور الإحداثيات المقابل.

على غرار المعادلات الكنسية يتوافق مع خط مستقيم عمودي على المحاور ثورو أويأو موازية للمحور أوز.

أمثلة.

معادلات عامة للخط المستقيم كخطوط تقاطع مستويين

وبشكل عام، أي طائرتين غير متوازيتين تعطى بالمعادلات العامة

تحديد الخط المستقيم لتقاطعهما. تسمى هذه المعادلات معادلات عامةمستقيم.

أمثلة.

أنشئ خطًا معطى بالمعادلات

لبناء خط مستقيم، يكفي العثور على أي نقطتين من نقاطه. أسهل طريقة هي تحديد نقاط تقاطع الخط المستقيم مع مستويات الإحداثيات. على سبيل المثال، نقطة التقاطع مع الطائرة xOyنحصل عليها من معادلات الخط المستقيم، على افتراض ض= 0:

بعد حل هذا النظام، نجد هذه النقطة م 1 (1;2;0).

وبالمثل، على افتراض ذ= 0 نحصل على نقطة تقاطع الخط مع المستوى xOz:

من المعادلات العامة للخط المستقيم يمكن الانتقال إلى معادلاته القانونية أو البارامترية. للقيام بذلك تحتاج إلى العثور على نقطة ما م 1 على خط مستقيم ومتجه الاتجاه لخط مستقيم.

إحداثيات النقطة م 1 نحصل عليها من نظام المعادلات هذا، مع إعطاء أحد الإحداثيات قيمة عشوائية. للعثور على متجه الاتجاه، لاحظ أن هذا المتجه يجب أن يكون متعامدًا مع كلا المتجهين العاديين و . لذلك، وراء متجه الاتجاه للخط المستقيم ليمكنك أخذ المنتج المتجه للنواقل العادية:

مثال.إعطاء معادلات عامة للخط إلى الشكل الكنسي.

دعونا نجد نقطة تقع على الخط. للقيام بذلك، نختار بشكل عشوائي أحد الإحداثيات، على سبيل المثال، ذ= 0 وحل نظام المعادلات:

المتجهات العادية للطائرات التي تحدد الخط لها إحداثيات وبالتالي فإن متجه الاتجاه سيكون مستقيما

. لذلك، ل: .

زاوية بين المستقيمين

زاويةبين الخطوط المستقيمة في الفضاء سوف نسمي أيًا من الزوايا المتجاورة التي تتكون من خطين مستقيمين مرسومين عبر نقطة عشوائية موازية للبيانات.

دعونا نعطي سطرين في الفضاء:

من الواضح أن الزاوية φ بين الخطوط المستقيمة يمكن اعتبارها الزاوية بين متجهات الاتجاه و . منذ ذلك الحين، باستخدام صيغة جيب تمام الزاوية بين المتجهات التي نحصل عليها

المهمة تتطلب العثور على خط تقاطع طائرتين وتحديد الحجم الفعلي لأحدهمابطريقة الحركة المتوازية الطائرة.

لحل هذه المشكلة الكلاسيكية في الهندسة الوصفية، تحتاج إلى معرفة المواد النظرية التالية:

— رسم إسقاطات للنقاط الفضائية على رسم معقد بإحداثيات معينة؛

— طرق تحديد المستوى في رسم معقد، مستوى عام ومستوى خاص؛

— الخطوط الرئيسية للطائرة.

— تحديد نقطة تقاطع الخط المستقيم مع المستوى (إيجاد "نقاط لقاء");

— طريقة الحركة المتوازية لتحديد الحجم الطبيعي للشكل المسطح؛

- تحديد مدى رؤية الخطوط المستقيمة والمستويات في الرسم باستخدام النقاط المتنافسة.

إجراءات حل المشكلة

1. حسب خيار الإسناد باستخدام إحداثيات النقطة، نقوم برسم مستويين على رسم معقد محددين على شكل مثلثات اي بي سي(أ'، ب'، ج'؛ أ، ب، ج) و دكي(د'، ك'، ه'؛ د، ك، ه) ( الشكل 1.1).

الشكل 1.1

2 . للعثور على خط التقاطع الذي نستخدمه طريقة طائرة الإسقاط. جوهرها هو أن جانبًا واحدًا (خطًا) من المستوى الأول (المثلث) يتم أخذه وإحاطته بالمستوى البارز. يتم تحديد نقطة تقاطع هذا الخط مع مستوى المثلث الثاني. نكرر هذه المهمة مرة أخرى، لكن بالنسبة لخط المثلث الثاني ومستوى المثلث الأول نحدد نقطة التقاطع الثانية. وبما أن النقاط الناتجة تنتمي في نفس الوقت إلى كلا المستويين، فيجب أن تكون على خط تقاطع هذه المستويتين. من خلال ربط هذه النقاط بخط مستقيم، سيكون لدينا خط التقاطع المطلوب للطائرات.

3. يتم حل المشكلة على النحو التالي:

أ)أرفق في طائرة الإسقاط و(و')جانب أ.ب(أ’ ب’) المثلث الأول في المستوى الأمامي للإسقاطات الخامس. نحدد نقاط تقاطع المستوى المسقط مع الجوانب لا أعرفو ديالمثلث الثاني، والحصول على النقاط 1(1') و2 (2'). نقوم بنقلها عبر خطوط الاتصال إلى مستوى الإسقاط الأفقي حإلى الجوانب المقابلة للمثلث، نقطة 1 (1) على الجانب ديوالفترة 2(2) على الجانب لا أعرف.

الشكل 1.2

ب)ربط إسقاطات النقاط 1 و 2، سيكون لدينا إسقاط لطائرة الإسقاط F. ثم نقطة تقاطع الخط أ.بمع تحديد مستوى المثلث DKE (وفقًا للقاعدة) مع تقاطع إسقاط المستوى المسقط 1-2 وإسقاط السطر الذي يحمل نفس الاسم أ.ب. وهكذا حصلنا على إسقاط أفقي لنقطة التقاطع الأولى للطائرات - موالتي من خلالها نحدد (المشروع على طول خطوط الاتصال) إسقاطه الأمامي – م’ على خط مستقيم أ’ ب’ (الشكل 1.2.أ);

الخامس)نجد النقطة الثانية بطريقة مماثلة. نحن نرفقه في مستوى الإسقاط ز(ز)جانب المثلث الثاني لا أعرف(لا أعرف) . نحدد نقاط تقاطع المستوى المسقط مع جوانب المثلث الأول مكيف الهواءوقبل الميلادفي الإسقاط الأفقي، الحصول على إسقاطات النقاط 3 و 4. نقوم بإسقاطهم على الجوانب المقابلة في المستوى الأمامي، نحصل عليه 3’ و 4'. ومن خلال ربطهما بخط مستقيم، نحصل على إسقاط المستوى المسقط. ثم ستكون نقطة التقاطع الثانية للطائرات عند تقاطع الخط 3’-4’ مع جانب المثلث د’ ك’ ، والتي كانت محاطة بطائرة الإسقاط. وهكذا حصلنا على إسقاط أمامي لنقطة التقاطع الثانية - ن’ على طول خط الاتصال نجد الإسقاط الأفقي - ن (الشكل 1.2.ب).

ز)ربط النقاط الناتجة مينيسوتا(مينيسوتا) و (م’ ن’) على المستويين الأفقي والأمامي، لدينا خط التقاطع المطلوب للمستويات المحددة.

4. باستخدام النقاط المتنافسة، نحدد مدى رؤية الطائرات. لنأخذ بضع نقاط متنافسة، على سبيل المثال، 1’=5’ في الإسقاط الأمامي. نسقطهم على الجوانب المقابلة في المستوى الأفقي ونحصل عليه 1 و 5. ونحن نرى أن هذه النقطة 1 ، مستلقيا على الجانب دهلديه إحداثيات كبيرة للمحور سمن نقطة 5 ، مستلقيا على الجانب أفي. لذلك، وفقا للقاعدة، فإن الإحداثيات الأكبر هي النقطة 1 وضلع المثلث د'إي"في المستوى الأمامي سوف تكون مرئية. وبالتالي يتم تحديد رؤية كل جانب من جوانب المثلث في المستويين الأفقي والأمامي. يتم رسم الخطوط المرئية في الرسومات كخط كفاف متصل، ويتم رسم الخطوط غير المرئية كخط متقطع. أذكر أنه عند نقاط تقاطع الطائرات ( م— ن وم’- ن’ ) سيكون هناك تغيير في الرؤية.

الشكل 1.3

ررسم بياني 1.4 .

يوضح الرسم البياني أيضًا تحديد الرؤية في المستوى الأفقي باستخدام نقاط متنافسة 3 و 6 على خطوط مستقيمة لا أعرفو أ.ب.

5. باستخدام طريقة الحركة المتوازية للمستوى، نحدد الحجم الطبيعي لمستوى المثلث اي بي سي، لماذا:

أ)في المستوى المحدد من خلال نقطة نسخة)تنفيذ أمامي ج— F(مع-Fوج’- F’) ;

ب)في المجال الحر للرسم في الإسقاط الأفقي نأخذ (علامة) نقطة تعسفية ج1مع الأخذ في الاعتبار أن هذا أحد رؤوس المثلث (تحديدًا الرأس ج). منه نستعيد العمودي على المستوى الأمامي (من خلال المحور س);

الشكل 1.5

الخامس)من خلال الحركة المتوازية للطائرة نترجم الإسقاط الأفقي للمثلث اي بي سي، إلى منصب جديد أ 1 ب 1 ج 1 بحيث يتخذ في الإسقاط الأمامي وضعية الإسقاط (يتحول إلى خط مستقيم). للقيام بذلك: على عمودي من هذه النقطة ج1، ضع جانباً الإسقاط الأفقي الأمامي ج 1 — F 1 (طول ل قوات التحالف) نحصل على نقطة F 1 . حل البوصلة من نقطة ف 1مقاس واونصنع درجة قوسية ومن النقطة ج 1 - حجم الشق سي.أ.ثم عند تقاطع الخطوط القوسية نحصل على نقطة أ 1 (الرأس الثاني للمثلث)؛

- بالمثل حصلنا على هذه النقطة ب 1 (من النقطة ج 1 جعل درجة من الحجم ج— ب(57 ملم)، ومن هذه النقطة F 1 مقاس F— ب(90 ملم) لاحظ أن مع الحل الصحيح هناك ثلاث نقاط أ 1 F’ 1 و ب’ 1 يجب أن يقع على نفس الخط المستقيم (جانب المثلث أ 1 — ب 1 ) وجهان آخران مع 1 — أ 1 و ج 1 — ب 1 يتم الحصول عليها عن طريق ربط رؤوسهم.

ز)يترتب على طريقة الدوران أنه عند تحريك أو تدوير نقطة في بعض مستويات الإسقاط - على المستوى المرافق، يجب أن يتحرك إسقاط هذه النقطة في خط مستقيم، في حالتنا الخاصة على طول محور متوازي مستقيم X. ثم نرسم من النقاط أ’ ب’ ج’ من الإسقاط الأمامي هذه الخطوط المستقيمة (وتسمى مستويات دوران النقاط)، ومن الإسقاطات الأمامية للنقاط النازحة أ 1 في 1ج 1 استعادة الخطوط المتعامدة (خطوط الاتصال) ( الشكل 1.6).

الشكل 1.6

إن تقاطع هذه الخطوط مع الخطوط المتعامدة المقابلة يعطي مواضع جديدة للإسقاط الأمامي للمثلث اي بي سي، خاصة أ’ 1 في 1ج’ 1 والتي ينبغي أن تصبح إسقاطية (خط مستقيم)، منذ الأفقي ح 1 لقد رسمنا عموديًا على المستوى الأمامي للإسقاطات ( الشكل 1.6);

5) ومن ثم، للحصول على الحجم الطبيعي للمثلث، يكفي تدوير إسقاطه الأمامي حتى يصبح موازيًا للمستوى الأفقي. يتم الدوران باستخدام بوصلة من خلال نقطة ما أ'1باعتبار أنه مركز الدوران، نضع مثلثًا أ’ 1 في 1ج’ 1 موازية للمحور X، نحن نحصل أ’ 2 في 2ج’ 2 . كما ذكرنا أعلاه، عند تدوير نقطة ما، فإنها تتحرك على الإسقاط المترافق (الأفقي الآن) على طول خطوط مستقيمة موازية للمحور X. حذف الخطوط المتعامدة (خطوط الاتصال) من الإسقاطات الأمامية للنقاط أ’ 2 في 2ج’ 2 وبتقاطعهما مع الخطوط المقابلة نجد الإسقاط الأفقي للمثلث اي بي سي (أ 2 في 2ج 2 ) حجم حقيقي ( الشكل 1.7).

أرز. 1.7

لدي كل الحلول الجاهزة لمشاكل مثل هذه الإحداثيات، يمكنك شراؤها

السعر 55 فرك.رسومات عن الهندسة الوصفية من كتاب فرولوف يمكنك تنزيلها بسهولة فورًا بعد الدفع أو سأرسلها إليك عبر البريد الإلكتروني. وهي موجودة في أرشيف ZIP بتنسيقات مختلفة:
*.jpg – رسم ملون عادي للرسم بمقياس من 1 إلى 1 بدقة جيدة 300 نقطة في البوصة؛
*.cdw – تنسيق برنامج البوصلة 12 والإصدارات الأحدث أو إصدار LT؛
*.dwg و.dxf — أوتوكاد، تنسيق برنامج نانوكاد؛

القسم: الهندسة الوصفية /

يمكن تعريف الخط المستقيم في الفضاء بأنه خط تقاطع مستويين غير متوازيين، أي أنه مجموعة من النقاط التي تحقق نظامًا من معادلتين خطيتين

(الخامس 5)

العبارة العكسية صحيحة أيضًا: نظام من معادلتين خطيتين مستقلتين بالشكل (V.5) يحدد الخط المستقيم باعتباره خط تقاطع المستويات (إذا لم تكن متوازية). تسمى معادلات النظام (V.5). المعادلة العامةخط مستقيم في الفضاء
.

مثالالخامس.12 . أنشئ معادلة قانونية لخط مستقيم تعطى بواسطة المعادلات العامة للمستويات

حل. لكتابة المعادلة الأساسية لخط أو، وهو نفس الشيء، معادلة خط يمر عبر نقطتين معلومتين، تحتاج إلى إيجاد إحداثيات أي نقطتين على الخط. ويمكن أن تكون نقاط تقاطع خط مستقيم مع أي مستويين إحداثيين، على سبيل المثال أويزو أوكسز.

نقطة تقاطع الخط والمستوى أويزلديه الإحداثي السيني
. ولذلك، على افتراض في هذا النظام من المعادلات
، نحصل على نظام بمتغيرين:

قرارها
,
معا مع
يحدد نقطة
الخط المستقيم المطلوب . على افتراض في هذا النظام من المعادلات
، نحصل على النظام

الحل الذي
,
معا مع
يحدد نقطة
تقاطع الخط مع الطائرة أوكسز.

الآن دعونا نكتب معادلات الخط الذي يمر عبر النقاط
و
:
أو
، أين
سيكون متجه الاتجاه لهذا الخط المستقيم.

مثالالخامس.13. يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة المعادلة القانونية
. اكتب معادلة عامة لهذا الخط.

حل.يمكن كتابة المعادلة الأساسية للخط كنظام من معادلتين مستقلتين:



لقد حصلنا على المعادلة العامة للخط المستقيم، والتي تعطى الآن من تقاطع مستويين، أحدهما
موازية للمحور أوز (
)، والآخر
- محاور الوحدة التنظيمية (
).

يمكن تمثيل هذا الخط المستقيم كخط تقاطع مستويين آخرين عن طريق كتابة معادلته القانونية على شكل زوج آخر من المعادلات المستقلة:



تعليق . يمكن تعريف نفس الخط المستقيم من خلال أنظمة مختلفة من معادلتين خطيتين (أي عن طريق تقاطع مستويات مختلفة، حيث يمكن رسم عدد لا حصر له من المستويات من خلال خط مستقيم واحد)، وكذلك من خلال معادلات قانونية مختلفة (اعتمادًا على اختيار نقطة على الخط المستقيم ومتجه اتجاهها).

سنسميه متجهًا غير صفري يوازي خطًا مستقيمًا ناقل الدليل .

دعونا في الفضاء ثلاثي الأبعاد يتم إعطاء خط مستقيم ل، مرورا بالنقطة
، ومتجه الاتجاه
.

أي ناقل
، أين
، يقع على خط مستقيم مع المتجه وبالتالي فإن إحداثياتها متناسبة، أي

. (الخامس 6)

تسمى هذه المعادلة المعادلة الأساسية للخط. وفي الحالة الخاصة عندما يكون ع مستوى، نحصل على معادلة الخط المستقيم على المستوى

. (الخامس 7)

مثالالخامس.14. أوجد معادلة الخط الذي يمر بنقطتين
,
.

أين
,
,
.

من السهل كتابة المعادلة (V.6) في الصورة البارامترية. بما أن إحداثيات متجهات الاتجاه للخطوط المتوازية متناسبة، بافتراض ذلك

أين ر - معامل،
.

المسافة من نقطة إلى خط

فكر في فضاء إقليدي ثنائي الأبعاد ع مع نظام الإحداثيات الديكارتية. دع هذه النقطة
ع و ل عباد. دعونا نجد المسافة من هذه النقطة إلى الخط. هيا نضع
، ومستقيم لتعطى بواسطة المعادلة
(الشكل الخامس.8).

مسافة
، المتجه
، أين
- ناقل الخط العادي ل,
و - على خط مستقيم، لذا فإن إحداثياتها متناسبة، أي
، لذلك،
,
.

من هنا
أو ضرب هذه المعادلات ب أو بعلى التوالي، وإضافتها، نجد
، من هنا

(الخامس 8)

يحدد المسافة من نقطة ما
إلى خط مستقيم
.

مثالالخامس.15. أوجد معادلة الخط الذي يمر بنقطة
عمودي على خط مستقيم ل:
والعثور على المسافة من
إلى خط مستقيم ل.

من الشكل. V.8 لدينا
، والناقل الطبيعي مستقيم ل
. من حالة العمودية لدينا

لأن
، الذي - التي

. (الخامس 9)

هذه هي معادلة الخط الذي يمر عبر نقطة
، عمودي على خط مستقيم
.

دعونا نحصل على معادلة الخط (V.9) الذي يمر بالنقطة
، عمودي على الخط ل:
. أوجد المسافة من النقطة
إلى خط مستقيم لباستخدام الصيغة (V.8).

ولإيجاد المسافة المطلوبة يكفي إيجاد معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين
والفترة
تقع على الخط عند قاعدة العمودي. يترك
، ثم

لأن
، والمتجه
، الذي - التي

. (الخامس 11)

منذ هذه النقطة
تقع على خط مستقيم ل، إذن لدينا مساواة أخرى
أو

دعونا نختصر النظام إلى نموذج ملائم لتطبيق طريقة كرامر

الحل له الشكل

. (الخامس 12)

بالتعويض (V.12) في (V.10)، نحصل على المسافة الأصلية.

مثالالخامس.16. يتم إعطاء نقطة في الفضاء ثنائي الأبعاد
ومستقيم
. العثور على المسافة من نقطة
إلى خط مستقيم؛ اكتب معادلة الخط الذي يمر بنقطة
عمودي على خط معين وأوجد المسافة من النقطة
إلى قاعدة العمودي على الخط الأصلي.

بالصيغة (V.8) لدينا

نجد معادلة الخط الذي يحتوي على عمودي على أنه خط يمر بنقطتين
و
باستخدام الصيغة (V.11). لأن
، ثم مع الأخذ في الاعتبار حقيقة ذلك
، أ
، لدينا

للعثور على الإحداثيات
لدينا نظام مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن هذه النقطة
تقع على الخط الأصلي

لذلك،
,
، من هنا.

النظر في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ع. دع هذه النقطة
ع والطائرة ع. دعونا نجد المسافة من هذه النقطة
إلى المستوى  المعطاة بالمعادلة (الشكل V.9).

بالقياس إلى الفضاء ثنائي الأبعاد لدينا
وناقلات
، اه، من هنا

. (الخامس 13)

نكتب معادلة الخط الذي يحتوي على عمودي على المستوى  على أنها معادلة خط يمر بنقطتين
و
، الكذب في الطائرة:

. (الخامس 14)

للعثور على إحداثيات نقطة
إلى أي مساويتين في الصيغة (V.14) نضيف المعادلة

وبحل نظام المعادلات الثلاث (V.14)، (V.15) نجد ,,- إحداثيات النقطة
. ثم ستكتب معادلة الخط المتعامد على الصورة

للعثور على المسافة من نقطة
إلى المستوى بدلاً من الصيغة (V.13) التي نستخدمها

دعونا في المعادلات القانونية للخط المستقيم

ويختلف المعامل عن الصفر، أي أن الخط المستقيم لا يوازي مستوى xOy. دعونا نكتب هذه المعادلات بشكل منفصل في هذا النموذج:

في حالتنا، تحدد المعادلات (6) الخط المستقيم بالكامل. ويعبر كل منهما على حدة عن مستوى، حيث يكون الأول موازيًا للمحور أوي، والثاني للمحور

وبالتالي، عند تمثيل خط مستقيم بمعادلات على الصورة (6)، فإننا نعتبره تقاطع مستويين يسقطان هذا الخط المستقيم على المستوى الإحداثي xOz وyOz. تحدد أول المعادلات (6)، التي يتم النظر فيها في المستوى، إسقاط خط مستقيم معين على هذا المستوى؛ وبنفس الطريقة، فإن الثانية من المعادلات (6)، التي تم النظر فيها في المستوى، تحدد إسقاط خط مستقيم معين على مستوى yOz. لذلك، يمكننا القول أن إعطاء معادلات الخط المستقيم في الصورة (6) يعني إعطاء إسقاطه على المستوى الإحداثي xOz وyOz.

إذا كان المعامل التوجيهي صفرًا، فإن واحدًا على الأقل من المعاملين الآخرين، على سبيل المثال، سيكون مختلفًا عن الصفر، أي أن الخط المستقيم لن يكون موازيًا لمستوى yOz. في هذه الحالة يمكننا التعبير عن الخط المستقيم

معادلات المستويات التي تسقطها على المستويات الإحداثية عن طريق كتابة المعادلات (5) في الصورة

وبالتالي، يمكن التعبير عن أي خط مستقيم بمعادلات طائرتين تمران به وتسقطانه على المستويين الإحداثيين. لكن ليس من الضروري على الإطلاق تحديد خط مستقيم بمثل هذا الزوج من الطائرات.

هناك عدد لا يحصى من الطائرات التي تمر عبر كل خط مستقيم. وأي اثنين منهم، متقاطعين، يحددانه في الفضاء. وبالتالي، فإن معادلات أي مستويين من هذا القبيل، عند النظر إليهما معًا، تمثل معادلات هذا الخط.

بشكل عام، أي مستويين غير متوازيين مع بعضهما البعض بمعادلات عامة

تحديد الخط المستقيم لتقاطعهما.

تسمى المعادلات (7)، إذا نظرنا إليها معًا، بالمعادلات العامة للخط.

ومن المعادلات العامة للخط المستقيم (7) يمكننا الانتقال إلى معادلاته القانونية. ولهذا الغرض، يجب أن نعرف نقطة ما على الخط ومتجه الاتجاه.

يمكننا بسهولة العثور على إحداثيات نقطة ما من نظام معادلات معين عن طريق اختيار أحد الإحداثيات بشكل تعسفي ثم حل نظام من معادلتين باستخدام شروط الإحداثيتين المتبقيتين.

لإيجاد المتجه الموجه لخط مستقيم، نلاحظ أن هذا المتجه الموجه على طول خط تقاطع هذه المستويات يجب أن يكون متعامدًا مع كلا المتجهين العموديين لهذه المستويات. وعلى العكس من ذلك، فإن كل متجه عمودي عليه يكون موازيًا لكلا المستويين، وبالتالي موازيًا للمستقيم المعطى.

لكن المنتج المتجه له هذه الخاصية أيضًا. لذلك، يمكن اعتبار حاصل الضرب المتجه للمتجهات العادية لهذه المستويات هو المتجه الموجه للخط المستقيم.

مثال 1. اختزل معادلة الخط إلى الشكل القانوني

دعونا نختار أحد الإحداثيات بشكل تعسفي. دعونا، على سبيل المثال، . ثم

ومن هنا وجدنا النقطة (2، 0، 1) تقع على الخط،

الآن بإيجاد حاصل الضرب المتجه للمتجهات، نحصل على متجه الاتجاه للخط المستقيم، وبالتالي فإن المعادلات القانونية ستكون:

تعليق. من معادلات الخط المستقيم العامة بالشكل (7) يمكنك الانتقال إلى المعادلات الأساسية دون اللجوء إلى الطريقة المتجهة.

دعونا أولا نتناول المزيد من التفاصيل حول المعادلات

دعونا نعبر عن x و y منهم من خلال . ثم نحصل على:

حيث ينبغي أن يكون

تسمى المعادلات (6) بمعادلات الخط المستقيم في الإسقاطات على المستوى

دعونا نحدد المعنى الهندسي للثوابت M وN: M هو المعامل الزاوي لإسقاط خط معين على المستوى الإحداثي (ظل زاوية هذا الإسقاط مع محور Oz)، وN هو المعامل الزاوي لإسقاط هذا الخط المستقيم على المستوى الإحداثي (ظل زاوية هذا الإسقاط مع محور أوز). وبالتالي، تحدد الأرقام اتجاهات إسقاطات خط مستقيم معين على مستويين إحداثيين، مما يعني أنها تحدد أيضًا اتجاه الخط المستقيم المحدد نفسه. ولذلك، فإن الأرقام M و N تسمى المعاملات الزاوية لخط معين.

ولمعرفة المعنى الهندسي للثوابت، نضع خطاً مستقيماً في المعادلات (6)، فنحصل على: أي أن النقطة تقع على خط مستقيم معطى. ومن الواضح أن هذه النقطة هي نقطة تقاطع هذا الخط المستقيم مع المستوى، فهذه هي إحداثيات أثر هذا الخط المستقيم على المستوى الإحداثي

أصبح من السهل الآن الانتقال من معادلات الإسقاط إلى المعادلات الأساسية. لنفترض، على سبيل المثال، المعادلات (6). وبحل هذه المعادلات نجد أن: